Cours de math´ematiques
Int´egration
1 Rappels sur la d´ erivation
Th´eor`eme 1. D´eriv´ees des fonctions usuelles
f(x) ensemble de d´efinition intervalle(s) de d´erivabilit´e f′(x)
Cte ]− ∞; +∞[ ]− ∞; +∞[ 0
ax+b ]− ∞; +∞[ ]− ∞; +∞[ a
xn , n∈N∗ ]− ∞; +∞[ ]− ∞; +∞[ nxn−1 1
x ]− ∞; 0[∪]0; +∞[ ]− ∞; 0[ et ]0; +∞[ − 1 x2 1
xn =x−n , n∈N∗ ]− ∞; 0[∪]0; +∞[ ]− ∞; 0[ et ]0; +∞[ − n
xn+1 =−nx−n−1
√x=x12 [0; +∞[ ]0; +∞[ 1
2√x = 1 2x−12
ln(x) ]0; +∞[ ]0; +∞[ 1
x
ex ]− ∞; +∞[ ]− ∞; +∞[ ex
cos(x) ]− ∞; +∞[ ]− ∞; +∞[ −sin(x)
sin(x) ]− ∞; +∞[ ]− ∞; +∞[ cos(x)
Th´eor`eme 2. D´eriv´ees et op´erations
– Si u etv sont deux fonctions d´erivables sur un intervalle I alors la fonction u+v:x 7→
u(x) +v(x) est d´erivable surI et (u+v)′ =u′+v′ .
– Si u est une fonction d´erivable sur un intervalle I et k un nombre r´eel alors la fonction ku:x7→k×u(x) est d´erivable surI et (ku)′=k×u′ .
– Si u et v sont deux fonctions d´erivables sur un intervalle I alors la fonction uv : x 7→
u(x)×v(x) est d´erivable surI et (uv)′ =u′v+uv′ .
– Siuest une fonction d´erivable sur un intervalleI ne s’annulant pas surI alors la fonction 1
u :x7→ 1
u(x) est d´erivable sur I et 1
u ′
=−u′ u2 .
– Si u et v sont deux fonctions d´erivables sur un intervalle I avec v ne s’annulant pas sur I alors la fonction u
v :x7→ u(x)
v(x) est d´erivable surI et u v
′
= u′v−uv′ v2 .
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Th´eor`eme 3. D´eriv´ee d’une fonction compos´ee
– Si uest une fonction d´erivable sur un intervalleI `a valeurs dans un intervalleJ etφune fonction d´erivable sur l’intervalle J alors la fonction compos´ee φ(u) : x 7→ φ(u(x)) est d´erivable sur l’intervalleI et (φ(u))′ =u′×φ′(u) .
– Si u est une fonction d´erivable sur un intervalle I, alors la fonction un , n ∈ N∗ :x 7→
(u(x))n est d´erivable sur l’intervalle I et (un)′ =nu′un−1 .
– Si u est une fonction d´erivable sur un intervalle I `a valeurs strictement positives sur I, alors la fonction √
u:x7→p
u(x) est d´erivable sur l’intervalle I et (√
u)′ = u′ 2√u . – Si u est une fonction d´erivable sur un intervalle I `a valeurs strictement positives sur I,
alors la fonction lnu:x7→ln(u(x))est d´erivable sur l’intervalle I et (lnu)′ = u′ u . – Si u est une fonction d´erivable sur un intervalle I, alors la fonction eu : x 7→ eu(x) est
d´erivable sur l’intervalleI et (eu)′ =u′eu .
– Si uest une fonction d´erivable sur un intervalle I, alors la fonction cosu:x7→cos(u(x)) est d´erivable sur l’intervalle I et (cosu)′=−u′sinu.
– Si u est une fonction d´erivable sur un intervalleI, alors la fonction sinu:x7→sin(u(x)) est d´erivable sur l’intervalle I et (sinu)′ =u′cosu.
2 Notion de primitive
D´efinition 1. On consid`ere une fonction f d´efinie sur un intervalleI. On dit que la fonction F est une primitivede la fonction f sur l’intervalle I si la fonction F est d´erivable sur I avec F′ =f.
Exemple 1. La fonction F(x) = 3x2−x+ 1 est une primitive de la fonction f(x) = 6x−1 sur R.
Exercice 1. D´eterminer une primitive de la fonction f d´efinie sur Rpar f(x) = 3x4−x3+ 5.
Th´eor`eme 4. Soit f une fonction admettant une primitive F sur un intervalle I, alors toute primitive de f sur I est de la formeF +k avec k∈R.
Exercice 2. D´eterminer toutes les primitives surR de la fonction f(x) = 3x2+ 2x−1.
Th´eor`eme 5. Soit f une fonction admettant des primitives sur un intervalle I avec x0 ∈I et y0 ∈R, alors il existe une unique primitiveF de f sur I v´erifiant la condition F(x0) =y0. Exercice 3. D´eterminer la primitiveF de la fonction f(x) =x+ 1 surRv´erifiant la condition F(2) = 1.
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3 Equations diff´ ´ erentielles
D´efinition 2. On appelle ´equation diff´erentielle une ´equation dont l’inconnue est une fonction f et dans laquelle apparaˆıt la d´eriv´ee f′ de la fonction f voire la d´eriv´ee seconde f′′ de la fonction f.
Exemple 2. La fonction f d´efinie par f(x) = ex est solution de l’´equation diff´erentielle f′−f = 0.
On notera d´esormais y la fonction inconnue dans l’´equation diff´erentielle.
Exercice 4. R´esoudre l’´equation diff´erentielley′′ = 1.
3.1 Equation diff´´ erentielle y′ =ay
Th´eor`eme 6. Les fonctions solutions de l’´equation diff´erentielle y′ =ay avec a∈R sont les fonctions de la forme f(x) =Ceax avec C ∈R.
Exercice 5. D´eterminer les fonctionsf solutions de l’´equation diff´erentielley′+2y= 0v´erifiant la condition f′(0) =−6.
3.2 Equation diff´´ erentielle y′′+ω2y= 0
Th´eor`eme 7. Les fonctions solutions de l’´equation diff´erentielle y′′+ω2y= 0 avec ω ∈ R∗ sont les fonctions de la forme f(x) =Acosωx+Bsinωx avec A, B∈R.
Exercice 6. D´eterminer les fonctions f solutions de l’´equation diff´erentielley′′+ 4y= 0v´eri- fiant les conditions f(0) = 1 et f′(0) =−2.
4 Int´ egrale d’une fonction
D´efinition 3. On consid`ere une fonction f admettant une primitiveF sur un intervalleI eta et b deux r´eels de l’intervalle I. On appelle int´egrale de la fonction f entrea et b :
Z b a
f(x)dx= [F(x)]x=bx=a=F(b)−F(a)
Remarque 1. L’int´egrale ne d´epend pas de la primitive choisie.
Th´eor`eme 8. Sif est une fonction positive admettant une pri- mitive sur un intervalle I avec aetb deux r´eels de l’intervalleI v´erifiant a < b, alors l’int´egrale de la fonction f est ´egale `a l’aire (exprim´ee en unit´es d’aire) du domaine d´elimit´e par la courbe repr´esentativeCf de la fonctionf, l’axe des abs- cisses et les droites d’´equations x=aet x=b, le plan ´etant muni d’un rep`ere orthogonal.
Cf
a b
Exercice 7. Calculer Z 3
2
(2x+ 1)dx.
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Remarque 2.
Z b a
0 dx= 0 ; Z a
a
f(x)dx= 0 et Z a
b
f(x)dx=− Z b
a
f(x)dx
Propri´et´e 1. Relation de Chasles
Soit f une fonction admettant une primitive sur un intervalle I et a, b et c trois r´eels de l’intervalle I, alors :
Z b a
f(x)dx+ Z c
b
f(x)dx= Z c
a
f(x)dx
Propri´et´e 2. Lin´earit´e de l’int´egrale
Soientf etg deux fonctions admettant une primitive sur un intervalleI et aetb deux r´eels de l’intervalle I avect k un nombre r´eel, alors :
Z b a
kf(x)dx=k Z b
a
f(x)dx
Z b a
(f(x) +g(x)) dx= Z b
a
f(x)dx+ Z b
a
g(x)dx
Propri´et´e 3. Soientf etg deux fonctions admettant une primitive sur un intervalle I etaetb deux r´eels de l’intervalle I v´erifianta6b. Sif(x)6g(x) pour toutx appartenant `a l’intervalle [a;b], alors :
Z b a
f(x)dx6 Z b
a
g(x)dx
D´efinition 4. Soit f une fonction admettant une primitive sur l’intervalle I et a et b deux r´eels de l’intervalle I v´erifianta < b. On appelle valeur moyenne de la fonctionf sur l’intervalle [a;b] :
1 b−a
Z b a
f(x)dx
Exercice 8. Calculer la valeur moyenne de la fonction f(x) =x2 sur l’intervalle [0; 1].
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