2 – Int´egration, th´eor`emes de convergence

Int´egration et probabilit´es ^2012-2013 TD3 – Int´egration, th´eor`emes de convergence – Corrig´e

0 – Exercice ayant ´et´e vou´e `a ˆetre pr´epar´e

Exercice 1(Mesure image).

Soient (E,A,µ) un espace mesur´e, (F,B) un espace mesurable et f : E → F une fonction mesurable. On rappelle que l’on d´efinit sur(F,B)une mesureν_f appel´ee mesure image deµ parfpar

νf(B) =µ f⁻¹(B)

, B∈B. Soitφ:F→R⁺ une fonction mesurable. Montrer que

Z

F

φ(x)ν_f(dx) = Z

E

φ(f(x))µ(dx).

Corrig´e :Par d´efinition la formule que l’on cherche `a obtenir est v´erifi´ee pour les fonctions indica- trices et par lin´earit´e, pour les fonctions ´etag´ee (positives). Soitφ : F → R+ une fonction mesurable.

Il existe une suite de fonctions ´etag´ees positives(φn)_n>1 telle queφntende en croissant versφ. On a alors pour toutn>1, Z

F

φ_n(x)ν_f(dx) = Z

E

φ_n(f(x))µ(dx)

En utilisant le th´eor`eme de convergence monotone on montre que l’´egalit´e est v´erifi´ee pourφ.

1 – Petites questions

1) Soit(f_n)_n>0une suite de fonctions continues sur[0, 1], avec 06f_n 61pour toutn, qui converge simplement vers 0. Montrer que

n→lim∞

Z₁

0

fn(x)dx=0.

R´eponse :C’est une application imm´ediate du th´eor`eme de convergence domin´ee.

2) On d´efinit sur un espace mesur´e(E,A,µ)une suite de fonctions mesurables(f_n)_n>0 et une fonction mesurableftelle quef_n →f µ-p.p. quandn→∞. On suppose que

sup

n>0

Z

E

|f_n|dµ <∞.

Pour des questions, demande de pr´ecisions ou explications,

n’h´esitez pas

Montrer quefest int´egrable.

R´eponse :Il suffit d’utiliser le lemme de Fatou : comme|f(x)|=lim|f_n(x)|presque partout : Z

|f|dµ= Z

lim inf|f_n|dµ6lim inf Z

|f_n|

, et cette derni`ere quantit´e est finie puisqu’elle est plus petite quesup_nR

|f_n|dµ.

3)(In ´egalit ´e de Markov)Soitf∈L1(E,A,µ). Montrer que pour toutA > 0, µ({|f|>A})6 1

A Z

E

|f|dµ.

R´eponse :Il suffit d’´ecrire : Z

E

|f|dµ>

Z

E

|f|1_{|f|>A}dµ>

Z

E

A1_{|f|>A}dµ=Aµ({|f|>A}).

4) Soitf∈L1(E,A,µ). Montrer queµ({f= +∞}) =0. Que dire de la r´eciproque ?

R´eponse :D’apr`es l’in´egalit´e de Markov,

µ({|f|>n})6 1 n

Z

|f|dµ −→

n→∞ 0.

On a d’autre partµ({f = +∞}) 6 µ({|f| = +∞}) = limn→∞µ({|f| > n}) (en effet, les ensembles {|f| > n}sont d´ecroissants enn, d’intersection ´egale `a {|f| = +∞}et ils sont de mesure finie d’apr`es l’in´egalit´e de Markov). La r´eciproque est clairement fausse (prendre la fonction constante ´egale `a1sur

(R,B(R),λ).

2 – Int´egration, th´eor`emes de convergence

Exercice 2.

1) Soitfune fonction d´erivable sur[0, 1], de d´eriv´eef⁰born´ee. Prouver que Z1

0

f⁰(x)dx=f(1) −f(0).

2) (?)Trouver une fonctioncontinue^∗presque partout d´erivable sur[0, 1]telle que f(0) = 0,f(1) =1etR1

0f⁰(x)dx =0.

∗Il manquait cette hypoth`ese dans l’´enonc´e initial. Sans cette hypoth`ese, c’est facile : prendre la fonction qui est nulle sur[0, 1[et qui vaut1en1.

Corrig´e :

1) On d´efinit sur[0, 1]la suite (g_n)_n>1 parg_n(x) = n(f(x+1/n) − f(x))si x 6 1−1/net 0 sinon. Pourx ∈[0, 1[fix´e,g_n(x)converge versf⁰(x). SoitM=sup_x∈[0,1]|f⁰(x)|, qui est fini par hypoth`ese. D’apr`es le th´eor`eme des accroissements finis,|g_n(x)|6Mpour toutx 61−1/n, et cette in´egalit´e est clairement vraie pourx ∈[1−1/n, 1]. Ainsi,|g_n(x)|6Mpour toutx ∈[0, 1].

D’apr`es le th´eor`eme de convergence domin´ee, Z1

0

f⁰(x)dx = lim

n→∞

Z1 0

g_n(x)dx.

Mais, en notantF(x) =R_x

0 f(t)dt, Z1

0

g_n(x)dx. = n

Z1−1/n 0

f(x+1/n)dx−n

Z1−1/n 0

f(x)dx

= n Z1

1/n

f(x)dx−n

Z1−1/n 0

f(x)dx

= n(F(1) −F(1−1/n)) −n(F(1/n) −F(0)),

qui converge versf(1) −f(0) lorsque n → ∞. En effet, la continuit´e de fen 0et 1 implique F⁰(0) =f(0)etF⁰(1) =f(1). Le r´esultat s’ensuit.

Remarques :

- SoitG(t) = Rt

0f⁰(u)du. En ´ecrivant(G(t+−G(t))/ = R1

0f⁰(t+u)du, on ne peut pas utiliser le th´eor`eme de convergence domin´ee pour dire que cette quantit´e converge vers f<sup>0</sup>(t)lorsque→0. En effet, on a aucune hypoth`ese sur la continuit´e def⁰.

- Il a ´et´e object´e en TD qu’on ne sait pasa prioriqueF(x)est d´erivable de d´eriv´eef, car il n’a pas encore ´et´e vu que l’int´egrale de Riemann et de Lebesgue coincident pour les fonctions continues. Ce n’est pas trop grave : on peut montrer ce r´esultat en utilisant le th´eor`eme de convergence domin´ee en suivant la m´ethode de la premi`ere remarque.

2) Un exemple, l’escalier du diable :

Il s’agit d’une application continue croissanteftelle que f(0) = 0, f(1) = 1, de d´eriv´ee nulle sur le compl´ementaire de l’ensemble de CantorK3 vu au TD 1. Ainsi,f⁰ =0presque partout ! Voir http:

//fr.wikipedia.org/wiki/Escalier_de_Cantorpour la construction.

Exercice 3 (Borel-Cantelli is back). Soient f : (R,B(R)) → (R,B(R))une fonction int´egrable pour la mesure de Lebesgue etα >0. Montrer que pour presque toutx∈R,

n→lim∞n^−αf(nx) =0.

Indication donn´ee `a titre indicatif :on pourra consid´erer, pourη >0, les ensembles

Aη,n ={x∈R:n^−α|f(nx)|> η}, n>1.

Corrig´e :Pourη >0etn>1, on a Aη,n= 1

n{y∈R:n^−α|f(y)|> η}. D’apr`es l’in´egalit´e de Markov, la mesure deA_n,ηest major´ee par

λ(Aη,n) = 1

nλ({y∈R:|f(y)|> ηn^α})6 1 n

1 ηn^α

Z

R

|f|dλ= 1 n^α+1

1 η

Z

R

|f|dλ.

Ainsi, la s´erie de terme g´en´eralλ(A_n,η)est sommable. D’apr`es le lemme de Borel-Cantelli, λ

lim sup

n

Aη,n

=0.

On a donc montr´e que, pour toutη >0, pourλ-presque toutx∈R,lim sup_n→∞n^−αf(nx)6η. Ainsi, pourλ-presque toutx ∈ R, pour toutp ∈ N^∗, lim sup_n→∞n^−αf(nx) 6 1/pce qui signifie que pour

λ-presque toutx ∈R,limn→∞n^−αf(nx) =0.

Rappel :Il a ´et´e vu en TD qu’une union quelconque d’ensembles de mesure nulle n’est pas forc´ement de mesure nulle (penser `aRqui est l’union des singletons) et qu’on ne peut pas intervertirpour toutet

pour presque tout.

Exercice 4(Uniforme continuit ´e de l’int ´egrale).

Soient(E,A,µ)un espace mesur´e etf: (E,A,µ)→(R,B(R))une fonction int´egrable.

1) Montrer que

n→lim∞

Z

|f|1{|f|>n}dµ=0.

2) Montrer que

∀ε > 0, ∃δ >0, ∀A∈A, µ(A)< δ⇒ Z

A

|f|dµ < ε.

3) Sif: (R,B(R))→(R,B(R))est int´egrable pour la mesure de Lebesgue, que peut-on dire de la fonctionF:u→R

[0,u]fdλ? Corrig´e :

1) La fonction f ´etant int´egrable, elle est finie µ-p.p et donc 1_{|f|>n} → 0µ-p.p. quand n → ∞. Ainsi,|f|1_{|f|>n}→0µ-p.p. quandn→∞et d’apr`es le th´eor`eme de convergence domin´ee,

Z

E

|f|1_{|f|>n}dµ −→

n→∞0.

2) Soitε >0. Il existe doncn_ε ∈Ntel que Z

E

|f|1_{|f|>nε}dµ6 ε 2. Posonsδ_ε =ε/(2n_ε). Alors, pourA∈Ade mesureµ(A)< δ_ε,

Z

A

|f|dµ= Z

A∩{|f|>nε}|f|dµ+ Z

A∩{|f|6nε}|f|dµ6 Z

E

|f|1_{|f|>nε}dµ+n_εµ(A)< ε.

3) Montrons queFest uniform´ement continue. Soitε > 0. On choisitδ >0tel que

∀A∈B(R), λ(A)< δ⇒ Z

A

|f|dµ < ε.

En particulier, si06y−x < δalors

|F(y) −F(x)|= Z

[x,y]

fdλ 6

Z

[x,y]

|f|dλ < ε.

Exercice 5(Probl `eme :convergence en mesure).

Soit(E,A,µ)un espace mesur´e tel queµ(E)<∞. Soient(f_n)_n>0etfdes fonctions mesurables de(E,A)dans(R,B(R)). On dit que la suite(f_n)converge versfen mesure si pour toutε >0,

µ(|f−fn|> ε)−→0.

1. Montrer que siR

E|f−f_n|dµ →0, alorsf_n→fen mesure. Remarquer que la r´eciproque est fausse.

2. Montrer que sif_n → f µ-p.p., alors f_n → fen mesure. Remarquer que la r´eciproque est fausse.

3. En utilisant le lemme de Borel-Cantelli, montrer que sif_n → fen mesure, alors on peut extraire une suite de(fn)qui convergeµ-p.p. versf.

4. Un th´eor`eme de convergence domin´ee plus fort.On suppose que fn → fen mesure et qu’il existe une fonctiong:E→Rint´egrable telle que|f_n|6g µ-p.p. pour toutn>1.

(a) Montrer que|f|6g µ-p.p.

(b) En d´eduire `a l’aide de la propri´et´e d’uniforme continuit´e de l’int´egrale que Z

E

|f_n−f|dµ→0.

5. L’espaceL⁰(E,µ).On noteL⁰(E,µ)l’ensemble des fonctions mesurables quotient´e par la relation d’´egalit´eµ-p.p.

(a) Montrer que l’on d´efinit une distance surL⁰(E,µ)par δ(f,g) =inf{ε >0,µ(|f−g|> ε)6ε} et que celle-ci m´etrise la convergence en mesure.

(b) Montrer que(L⁰(E,µ),δ)est complet.

(c) Montrer qu’il n’existe pas de distance surL⁰(E,µ)qui m´etrise la convergenceµ-p.p.

Corrig´e :

1. On suppose queR

E|f_n−f|dµ→0. Soitε >0. D’apr`es l’in´egalit´e de Markov, µ(|f_n−f|> ε)6 1

ε Z

E

|f_n−f|dµ,

ce qui implique que µ(|f_n −f| > ε) → 0. R´eciproquement, consid´erons la suite de fonctions (f_n)_n>1 d´efinie sur([0, 1],B([0, 1]))par

fn =n1[0,1/n].

Alors (f_n)_n>1 converge en mesure vers 0. En effet pour tout n > 1, λ(f_n > 0) = 1/n. En revanche, pour toutn>1,R

[0,1]f_n(x)dx=1.

2. On suppose quef_n →f µ-p.p. Soitε >0. Alors,

µ \

n>1

[

m>n

{|f_m−f|> ε}

!

=0.

Or, la suite(∪_m>n{|f_m−f|> ε})_n>0 est d´ecroissante pour l’inclusion etµest une mesure finie, donc on a,

n→lim∞µ [

m>n

{|f_m−f|> ε}

!

=0.

En particulier,limn→∞µ({|f_n−f|> ε}) =0. R´eciproquement, consid´erons la suite de fonctions (fn,k)n>1,16k6nd´efinie sur([0, 1],B([0, 1]))par

f_n,k =1[(k−1)/n,k/n].

Alors(f_n,k)n>1,16k6n converge en mesure vers0. En effet pour toutn > 1et tout1 6 k6 n, λ(f_n,k >0) =1/n. En revanchelim supf_n,k =1[0,1], donc la convergence n’a pas lieuµ-p.p.

3. On peut construire une suite strictement croissante d’entiers(n_k)_k>1telle que pour toutk>1, µ

|fn_k −f|> 1 k

62^−k.

Alors, d’apr`es le lemme de Borel-Cantelli, pourµ-presque toutx, il existek₀(x)tel que pour tout k>k₀(x),|f_nk(x) −f(x)|61/k. Cela implique quef_nk →f µ-p.p. quandk→∞.

4. Premi`ere m´ethode : par l’absurde. On suppose qu’il existeε > 0 et une suite extraite (f_nk)_k>0 telle que pour toutk>0, Z

E

|f_nk −f|dµ>ε. (1)

Orfn_k →fen mesure quandk→∞donc d’apr`es la question 3., on peut extraire une sous-suite (f<sub>nkj</sub>)<sub>j>0</sub> de (f<sub>nk</sub>) telle que f<sub>nkj</sub> → f µ-p.p. Or |f<sub>nkj</sub>| 6 g pour tout j > 0. Donc d’apr`es le th´eor`eme de convergence domin´ee,

Z

E

f_nkj −f

dµ −→

j→∞0.

Cela contredit l’in´egalit´e (1).

Deuxi`eme m´ethode. Comme sugg´er´e dans l’´enonc´e.

(a) V´erifions tout d’abord que|f|6g µ-p.p. Pour toutε >0, on a

µ(|f|> g+ε)6µ(|f|>|fn|+ε)6µ(|f−fn|> ε).

Donc,µ(|f|> g+ε) =0. Ainsi,µ-p.p., pour toutn>1,|f|6g+1/net donc|f|6g.

(b) Soitε >0. On a Z

E

|f_n−f|dµ = Z

{|fn−f|6ε}|f_n−f|dµ+ Z

{|fn−f|>ε}|f_n−f|dµ 6 εµ(E) +2

Z

{|fn−f|>ε}|g|dµ

La fonctiong´etant int´egrable, on a d’apr`es la propri´et´e d’uniforme continuit´e de l’int´egrale,

2 Z

{|fn−f|>ε}|g|dµ −→

n→∞0.

Ainsi,lim sup_n→∞R

E|f_n−f|dµ6εµ(E)pour toutε > 0. DoncR

E|f_n−f|dµ→0.

(5)(a) Montrons queδest une distance surL⁰(E,µ). Soientf,g∈L⁰(E,µ). Il est ´evident queδ(f,f) = 0etδ(f,g) = δ(g,f). Supposonsδ(f,g) = 0. Alors pour toutn > 1, µ(|f−g|> 1/n) 6 1/n et la suite({|f−g|>1/n})n>1est croissante pour l’inclusion donc on a

µ(f6=g) =µ [

n>1

{|f−g|>1/n}

!

= lim

n→∞µ(|f−g|>1/n) =0,

i.e.f=g µ-p.p. Soient maintenantf,g,h∈L⁰(E,µ). Posonsa=δ(f,g)etb=δ(g,h). Alors, pour toutε >0, on a

µ(|f−h|> a+b+2ε) 6 µ(|f−g|+|g−h|> a+b+2ε) 6 µ(|f−g|> a+ε) +µ(|g−h|> b+ε) 6 a+b+2ε.

Cela implique δ(f,h) 6 δ(f,g) +δ(g,h). V´erifions queδ m´etrise la convergence en mesure.

Soientf∈ L⁰(E,µ) et(f_n)_n>1 une suite d’´el´ements deL⁰(E,µ). On suppose tout d’abord que

f_n → f en mesure. Soit ε > 0. Alors, µ(|f_n −f| > ε) → 0. Donc, il existe n₀ ∈ N tel que µ(|f_n−f| > ε) 6εpour toutn >n₀. Ainsi,δ(f_n,f)6 εpour toutn> n₀ ce qui montre que δ(f_n,f) → 0. Supposons maintenant que δ(f_n,f) → 0. Soit η > 0fix´e. Pour toutε ∈]0,η], il existen₀tel queµ(|f_n−f|> ε)6εpour toutn>n₀. Ainsi, pour toutn>n₀,

µ(|f_n−f|> η)6µ(|f_n−f|> ε)6ε, ce qui montre quef_n→fen mesure.

(5)(b) On peut construire une suite extraite(f_nk)_k>1 telle queµ(|f_nk+1 −f_nk|>2^−k)62^−kpour tout k>1(s’en convaincre, c’est important). Notons

A_k =

|f_nk+1 −f_nk|>2^−k . Alors P

k>1µ(A_k) < ∞. Donc, d’apr`es le lemme de Borel-Cantelli, µ(lim sup_kA_k) = 0.

Ainsi, la s´erie X

k>1

|fn_k+1(x) −fn_k(x)|

converge pourµ-presque toutx. Donc la suite(f_nk(x))_k>1 converge pourµ-presque toutx. On note f sa limite µ-p.p. (on pose f = 0 sur l’ensemble de mesure nulle o`u f n’est pas d´efinie, noter que f est bien d´efinie µ-p.p.). Alors d’apr`es la question 1., f_nk → f en mesure. Ainsi δ(f_nk,f)→0et doncδ(f_n,f)→0.

(5)(c) Supposons qu’il existe une distance d sur L⁰(E,µ) qui m´etrise la convergence µ-p.p. D’apr`es la question 1., on peut construire une suite de fonctions mesurables(f<sub>n</sub>)<sub>n>0</sub> sur (E,A,µ) qui converge en mesure vers0 mais pasµ-p.p. Ainsi, il existeε > 0et une suite extraite (f<sub>nk</sub>)<sub>k>0</sub> telle qued(fnk, 0)>εpour toutk>0. Orfnk →0en mesure. Donc, d’apr`es la question 2., on peut construire une suite extraite(f_nkj)_j>0 qui converge µ-p.p. vers 0. Cela contredit l’in´egalit´e

d(fn_kj, 0)>εpour toutj>0.

Exercice 6.

Soitf:]0, 1[→Rune fonction positive, monotone et int´egrable. Quelle est la limite de la suite Z1

0

f(xⁿ)dx

n>1

?

Corrig´e : La fonctionf ´etant monotone, elle admet une limite `a droite en 0 que nous noterons α (α∈R∪{+∞}).

1. Premier cas : la fonction f est d´ecroissante et α < ∞. Alors la suite de fonctions positives (f_n)_n>1 d´efinies par

f_n(x) =f(xⁿ), x ∈]0, 1[,

est croissante et convergeλ-p.p. versα. Donc d’apr`es le th´eor`eme de convergence monotone, Z

]0,1[

f(xⁿ)dx −→

n→∞

Z

]0,1[

α dλ =α.

2. Deuxi`eme cas : la fonctionfest d´ecroissante etα=∞. Alors(f<sub>n</sub>)<sub>n>1</sub> ↑+∞λ-p.p. donc d’apr`es le th´eor`eme de convergence monotone,

Z

]0,1[

f(xⁿ)dx −→

n→∞+∞.

3. Troisi`eme cas : la fonctionfest croissante (on aα < ∞dans ce cas). Alors la suite de fonctions (f_n)_n>1 est d´ecroissante et convergeλ-p.p. versα. De plusf₁ =fest int´egrable donc

Z

]0,1[

f(xⁿ)dx −→

n→∞α.

4 – Compl´ements (hors TD)

Exercice 7. Soit (X,A,µ) un espace mesur´e de masse totale finie et f : X → R mesurable.

Montrer que :

f∈L1(X,A,µ) ⇐⇒ X

n>1

µ({|f|>n})<∞. Que se passe-t-il si la masse totale est infinie ?

Corrig´e :On a Z

E

|f|µ = X

n>0

Z

E

|f|1{n6|f|<n+1}dµ

6 X

n>0

(n+1)µ({n6|f|< n+1})

= X

n>0

(n+1)(µ({|f|>n}) −µ({|f|>n+1})

= X

n>0

µ({|f|>n}) +X

n>0

nµ({|f|>n}) −X

n>0

(n+1)µ({|f|>n+1})

= µ(E) +X

n>1

µ({|f|>n}).

Pour la derni`ere ´egalit´e, on a utilis´e le fait queµ({|f| > 0}) = µ(E). On montre de la mˆeme mani`ere

que Z

E

|f|dµ>X

n>1

µ({|f|>n}).

On obtient l’´equivalence demand´ee.

Dans le cas o`uµ(E) =∞, on peut avoirP

n>1µ({|f|>n})<∞avecfnon int´egrable. Consid´erer

par exemplef=1Rsur(R,B(R),λ).

Exercice 8(Quand est-ce que convergence p.p. implique convergence dansL1?). Soit(E,A,µ) un espace mesur´e avecµ(E) < ∞. Une famille (f_i)i∈I)de fonctions mesurables de Edans R est diteuniform´ement int´egrablesi

c→lim∞sup

i∈I

Z

{|fi|>c}|f_i|dµ=0. (2)

a) Montrer que toute famille finie deL1(E,A,µ)(not´eL1(µ)dans la suite) est uniform´ement int´egrable.

b) Montrer que la famille(f_i)i∈I)est uniform´ement int´egrable si, et seulement si, les deux conditions suivantes sont satisfaites :

(i) sup

i∈I

Z

|f_i|dµ < ∞

(ii) ∀ε > 0,∃η >0,∀A∈A, µ(A)< η=⇒ ∀i∈I,R

A|f_i|dµ < ε.

c) Montrer que si les familles (fi)i∈I et (gi)i∈I sont uniform´ement int´egrables, alors il en est de mˆeme pour la famille(f_i+g_i)i∈I).

d) Soit(fn)_n>1une suite de fonctions qui convergeµ-p.p. vers une fonctionf. Montrer que (f_n)_n>1 est uniform´ement int´egrable si, et seulement si,f∈L1(µ)et

Z

E

|f_n−f|dµ −→

n→∞ 0.

Ebauche de corrig´e :´

a) SiIest fini, il suffit de montrer quelim_c→∞R

{|f_i|>c}|f_i|dµ=0pouri ∈ Ifix´e. Ceci d´ecoule du th´eor`eme de convergence domin´ee, car

Z

{|f_i|>c}|f_i|dµ= Z

E

|f_i|1{|f_i|>c}dµ,

et|f_i|1_{|fi|>c}convergeµ-p.p. vers0lorsquec→∞en ´etant major´e par|f_i|, qui est int´egrable.

b) Montrons d’abord l’implication. On remarque que pouri ∈Ietc>0, Z

E

|f|dµ6cµ(E) + Z

{|fi|>c}|f|dµ.

D’apr`es(2), il existeC > 0tel quesup_i∈IR

{|fi|>C}|f_i|dµ < ∞. On a alors

sup

i∈I

Z

|f_i|dµ6Cµ(E) +sup

i∈I

Z

{|fi|>C}|f_i|dµ <∞,

ce qui prouve (i).

Pour (ii), on imite la preuve de l’uniforme continuit´e de l’int´egrale : on fixe >0et on choisit C >0tel quesup_i∈IR

{|fi|>C}|f_i|dµ < /2. Siµ(A)6/(2Cµ(E)), on a pour touti∈I: Z

A

|f_i|dµ6 Z

A,|f_i|6C

|f_i|dµ+ Z

|f_i|>C

|f_i|dµ6µ(A)Cµ(E) + Z

|f_i|>C

|f_i|dµ6.

Montrons maintenant la r´eciproque. Notonsγ = sup_i∈IR

|f_i|dµ < ∞. D’apr`es l’in´egalit´e de Markov, pouri ∈ Iet c > 0 on a µ({|f_i| > c}) 6 γ/c. Fixons > 0 et soit η > 0 tel que la condition (ii) soit v´erifi´ee. Pourc > γ/ηon a alors , µ({|f_i| > c}) 6 η pour touti ∈ I, ce qui implique

sup

i∈I

Z

{|fi|>c}|f_i|dµ6 grˆace `a (ii). Le r´esultat s’ensuit.

c) C’est une cons´equence facile de la question b) en utilisant l’in´egalit´e triangulaire.

d) Montrons d’abord l’implication. En ´ecrivant|f|6|f_n|+|f−f_n|, on voit ais´ement quef∈L1(µ).

Soit > 0. On ´ecrit, pourc>0: Z

E

|f_n−f|dµ6 Z

X

min(|f_n−f|,c)dµ+ Z

{|fn−f|>c}|f_n−f|dµ.

D’apr`es a),fest uniform´ement int´egrable, et donc d’apr`es c) la suite(f_n−f)_n>1est uniform´ement int´egrable. Il existe doncC > 0tel que pour toutn>1,

Z

{|fn−f|>C}|f_n−f|dµ6.

On a donc Z

E

|f_n−f|dµ6 Z

X

min(|f_n−f|,C)dµ+.

Mais le premier terme de la quantit´e de droite tend vers0 d’apr`es le th´eor`eme de convergence domin´ee. On a doncR

E|fn−f|dµ62pournsuffisamment grand, ce qui prouve l’implication d´esir´ee.

Montrons finalement la r´eciproque. La conditionR

E|f_n−f|dµ→0garantit que la suite(f_n− f)_n>1 est uniform´ement int´egrable. Nous avons d´ej`a vu que f est uniform´ement int´egrable. Il s’ensuit que la suite (f_n−f+f)_n>1 = (f_n)_n>1 est uniform´ement int´egrable, ce qui conclut l’exercice.

Exercice 9 (?). Soient (E,A,µ) un espace mesur´e et(A_n)_n>1 une suite d’´el´ements deA. Soit f: (E,A,µ)→(R,B(R))une fonction int´egrable telle que

Z

E

|1An −f|dµ −→

n→∞ 0.

Montrer qu’il existeA∈Atel quef=1A,µpresque partout.

Corrig´e : Montrons d’abord que |f| 6 2 µ-p.p. `A cet effet, on remarque que d’apr`es l’in´egalit´e triangulaire{|f|>2}⊂{|1An −f|>1}, donc d’apr`es l’in´egalit´e de Markov

µ({|f|>2})6 Z

E

|1An −f|dµ −→

n→∞ 0.

Ainsi,µ({|f|>2}) =0, ce qui prouve que|f|62µ-p.p.

Pour prouver quef=1A,µ-p.p, nous allons d´emontrer quef=f² µ−p.p.(et alorsA={f=1}).

A cet effet, on ´ecrit` Z

E

|f−f²|dµ 6 Z

E

|f−1An|dµ+ Z

E

|f²−1An|dµ

= Z

E

|f−1An|dµ+ Z

E

|f−1An|·|f+1An|dµ

6 4

Z

E

|1An −f|dµ,

car|1An−f|63µ-p.p. Ainsi, on obtient le r´esultat.

Fin