5. Int´ egration complexe
1. Int´ egrales d´ efinies d’une fonction complexe d’une variable r´ eelle
Les int´egrales sont extrˆemement importantes dans l’´etude des fonctions d’une variable complexe. Nous ´etablirons l’´equivalence entre les notions de fonction ana- lytique, d’une part, comme fonction d´erivable en chaque point d’un domaine de d´efinition, et, d’autre part, comme fonction dont l’int´egrale ne d´epend pas du chemin d’int´egration.
1.1. D´efinition
Pour introduire les int´egrales de f(z) d’une mani`ere simple, on commence par introduire l’int´egrale d´efinie d’une fonction `a valeurs complexes d’une variable r´eelle t sur un intervalle donn´e a ≤ t ≤ b. D´esignant cette fonction par w(t), on
´ecrit :
w(t) =u(t) +iv(t). (1.1)
Les fonctions u(t) et v(t), d´efinies sur l’intervalle ferm´e born´e a ≤ t ≤ b, sont suppos´ees continues par morceaux. Chacune de ces deux fonctions est `a valeurs r´eelles et continue partout dans l’intervalle [a, b], sauf peut-ˆetre en un nombre fini de points o`u la fonction, bien que discontinue, poss`ede des limites `a gauche et des limites `a droite finies. La fonction w est, elle aussi, continue par morceaux sur l’intervallea ≤t≤b. On d´efinit l’int´egrale de w de a `a b comme :
Z b
a
w(t) dt= Z b
a
u(t) dt+i Z b
a
v(t) dt. (1.2)
1.2. Majoration du module d’une int´egrale
On suppose que la valeur de l’int´egrale (1.2) est un nombre complexe non nul.
On l’´ecrit sous la forme :
Z b
a
w dt=reiθ. (1.3)
50 Chapitre 5 : Int´egration complexe On a donc :
r = Z b
a
<e(e−iθw)dt. (1.4) On en d´eduit l’in´egalit´e :
r≤ Z b
a
|w|dt. (1.5)
Par suite, on a la majoration :
Z b
a
w(t)dt
≤ Z b
a
|w(t)|dt, a < b. (1.6)
2. Contours
2.1. D´efinition des arcs
Les int´egrales des fonctions `a valeurs complexes d’une variable complexe sont d´efinies sur des courbes dans le plan complexe. Un arc C dans le plan complexe est un ensemble de points z = (x, y) tels que
x =x(t), y =y(t), a ≤t≤b, (2.1) o`u x(t) et y(t) sont des fonctions continues du param`etre r´eel t. On d´ecrit les points de l’arcC au moyen de l’´equation
z =z(t), a≤t≤b, (2.2)
o`u :
z(t) =x(t) +iy(t). (2.3)
L’arc C est un arc simple s’il ne se recoupe pas lui-mˆeme. Lorsque l’arc C est simple mais que z(b) =z(a), on dit que C est une courbe simple ferm´ee.
2.2. Exemple Le cercle unit´e
z =eiθ, 0≤θ ≤2π, (2.4)
centr´e `a l’origine est une courbe simple ferm´ee orient´ee dans le sens contraire des aiguilles d’une montre. Il en est de mˆeme du cercle de rayonRcentr´e au point z0 :
z =z0+Reiθ, 0≤θ ≤2π. (2.5)
2.3. D´efinition des arcs diff´erentiables La d´eriv´ee de la fonction (2.3) est d´efinie comme
z0(t) =x0(t) +iy0(t), (2.6) si les deux d´eriv´ees x0(t) et y0(t) existent.
Si les d´eriv´ees x0(t) et y0(t) des composantes de la fonction z(t) utilis´ee pour d´ecrire un arcC existent et sont continues sur l’intervalle a≤t ≤b, C est appel´e un arc diff´erentiable. La fonction `a valeurs r´eelles
|z0(t)|= q
[x0(t)]2+ [y0(t)]2 (2.7) est int´egrable sur l’intervalle a≤t≤b et l’arc C a la longueur :
L= Z b
a
|z0(t)|dt. (2.8)
La longueurL ne d´epend pas des changements de repr´esentation param´etrique de l’arc C.
2.4. D´efinition des contours
Uncontour est un arc constitu´e de morceaux d’arcs diff´erentiables joints bout
`
a bout. Autrement dit, si l’´equation (2.2) repr´esente un contour,z(t) est continue, tandis que la d´eriv´ee z0(t) est continue par morceaux. Quand les valeurs initiale et finale dez(t) sont les mˆemes, le contourC est appel´e contour ferm´e simple. La longueur d’un contour ou d’un contour ferm´e simple est la somme des longueurs des arcs diff´erentiables qui le forment.
3. Int´ egrales curvilignes
3.1. D´efinition
On s’int´eresse maintenant aux int´egrales des fonctions f `a valeurs complexes de la variable complexe z. Une telle int´egrale est d´efinie `a l’aide des valeurs f(z) le long d’un contour donn´e C allant d’un point z1 `a un point z2 dans le plan complexe. C’est donc une int´egrale curviligne, dont la valeur d´epend en g´en´eral aussi bien du contour C que de la fonction f. On l’´ecrit
Z
C
f(z)dz ou
Z z2
z1
f(z)dz, (3.1)
la derni`ere notation ´etant r´eserv´ee au cas o`u la valeur de l’int´egrale est ind´ependante du choix du contour entre les deux pointsz1 etz2.
52 Chapitre 5 : Int´egration complexe Supposons que l’´equation
z =z(t), a≤t≤b, (3.2)
repr´esente un contour C, s’´etendant d’un pointz1 =z(a) `a un point z2 =z(b). Si la fonction f(z) = u(x, y) +iv(x, y) est continue par morceaux sur C, on d´efinit l’int´egrale curviligne ou int´egrale de contour de f le long de C comme :
Z
C
f(z)dz= Z b
a
f z(t)
z0(t)dt. (3.3)
On a
Z
C
f(z)dz = Z b
a
(ux0−vy0)dt+i Z b
a
(vx0+uy0)dt, (3.4) soit encore :
Z
C
f(z)dz = Z
C
udx−vdy +i Z
C
vdx+udy. (3.5)
3.2. In´egalit´e fondamentale On a la propri´et´e :
Z
C
f(z)dz
≤ Z b
a
f z(t)
z0(t)
dt. (3.6)
Si doncM est une constante positive telle que|f(z)| ≤M, on a :
Z
C
f(z)dz
≤M Z b
a
|z0(t)| dt. (3.7)
Comme l’int´egrale sur la droite repr´esente la longueur L du contour C, le module de l’int´egrale de f le long de C reste born´e parM L :
Z
C
f(z)dz
≤M L. (3.8)
Cette majoration sera tr`es utile par la suite pour le calcul pratique des int´egrales.
Puisque tous les chemins d’int´egration consid´er´es ici sont des contours et puisque les int´egrands sont des fonctions continues par morceaux d´efinies sur ces contours, un nombreM tel que celui apparaissant dans l’in´egalit´e ci-dessus existe toujours. En effet, la fonction `a valeurs r´eelles |f[z(t)]|est continue sur l’intervalle ferm´e born´e a ≤t≤b quand f est continue sur C. Une telle fonction atteint tou- jours une valeur maximumM sur cet intervalle. Donc|f(z)|poss`ede un maximum lorsque f est continue sur C. La mˆeme propri´et´e est vraie lorsque f est continue par morceaux sur C.
3.3. Lemme de Jordan
L’in´egalit´e fondamentale peut ˆetre appliqu´ee `a un arc de cercle Γ de centre z0 et de rayon R, d’angle au centre Ω. La longueur de l’arc Γ est L = ΩR. On a donc :
Z
Γ
f(z)dz
≤MΩR. (3.9)
On en d´eduit le lemme de Jordan :
Si limR→0 Rmaxz∈Γ|f(z)|= 0, alors limR→0 R
Γf(z)dz = 0 Si limR→∞ Rmaxz∈Γ|f(z)|= 0, alors limR→∞ R
Γf(z)dz = 0
Le lemme de Jordan ne donne que des conditions suffisantes pour que la limite quand R → 0 ou quand R → ∞ de l’int´egrale R
Γf(z)dz soit nulle (cette limite peut ˆetre nulle mˆeme si les conditions ci-dessus ne sont pas satisfaites).
4. Th´ eor` eme de Cauchy
Dans le cas g´en´eral, l’int´egrale R
Cf(z)dz d´epend aussi bien de la fonction
`
a int´egrer f(z) que du contour d’int´egration C. Cependant, si une fonction est analytique dans un domaine simplement connexe contenant un contour C, son int´egrale est alors compl`etement d´efinie par la position des extr´emit´es de C et ne d´epend pas de la forme du contour.
Le th´eor`eme de Cauchy (Cauchy, 1825) s’´enonce de la mani`ere suivante : Si une fonctionf(z)est analytique dans un domaine simplement connexeD, alors, pour tous les contours C appartenant `a ce domaine et ayant des extr´emit´es com- munes, l’int´egrale R
Cf(z)dz a une valeur unique.
Nous d´emontrerons ce th´eor`eme avec l’hypoth`ese suppl´ementaire de la con- tinuit´e de la d´eriv´ee f0(z) (la d´efinition de l’analyticit´e n’exigeant que l’existence de cette d´eriv´ee).
On pose :
f(z) =u(x, y) +iv(x, y). (4.1) En vertu de la relation
Z
C
f(z)dz= Z
C
udx−vdy+i Z
C
vdx+udy (4.2)
la question de l’ind´ependance d’une int´egrale R
Cf(z)dz par rapport au chemin d’int´egration se ram`ene `a la mˆeme question pour les int´egrales curvilignes ci- dessous :
Z
C
udx−vdy, Z
C
vdx+udy. (4.3)
On apprend dans le cours d’analyse r´eelle que, pour que, dans un domaine sim- plement connexe, l’int´egrale curviligne R
CP dx+Qdy, o`u P et Q sont des fonc- tions poss´edant des d´eriv´ees partielles continues, soit ind´ependante du chemin
54 Chapitre 5 : Int´egration complexe d’int´egration, il faut et il suffit que l’expression sous le signe d’int´egration soit une diff´erentielle totale, c’est-`a-dire qu’en chaque point du domaine D on ait la relation∂P/∂y =∂Q/∂x. Pour les int´egrales (4.3), cette relation est de la forme
∂u
∂y =−∂v
∂x, ∂v
∂y = ∂u
∂x. (4.4)
La continuit´e des d´eriv´ees partielles d´ecoule de l’hypoth`ese selon laquellef0(z) est continue. Les ´equations (4.4) co¨ıncident avec les conditions de Cauchy-Riemann et sont v´erifi´ees puisque f(z) est une fonction analytique. Le th´eor`eme est donc d´emontr´e.
En vertu de ce th´eor`eme, pour les fonctions analytiques dans les domaines simplement connexes, au lieu de R
Cf(z)dz, on peut ´ecrire Rz
z0f(ζ)dζ, o`u z0 et z sont les extr´emit´es de la courbe C.
Le th´eor`eme de Cauchy peut aussi ˆetre ´enonc´e sous la forme suivante :Si une fonction f(z) est analytique dans un domaine simplement connexe D, alors son int´egrale prise le long de tout contour ferm´e C appartenant `a D est nulle :
I
C
f(z)dz = 0. (4.5)
5. Primitives et ind´ ependance par rapport au chemin d’int´ egration
Si une fonctionf(z) est analytique dans un domaine simplement connexe D, alors l’int´egrale
Z z
z0
f(ζ)dζ =F(z) (5.1)
consid´er´ee comme fonction de sa limite sup´erieure, est aussi une fonction analy- tique dans D. On a :
F0(z) = d dz
Z z
z0
f(ζ)dζ =f(z). (5.2)
En effet, d’apr`es la d´efinition de la d´eriv´ee et les propri´et´es de l’int´egrale, on a :
F0(z) = lim
h→0
F(z+h)−F(z)
h = lim
h→0
1 h
Z z+h
z0
f(ζ)dζ − Z z
z0
f(ζ)dζ
= lim
h→0
1 h
Z z+h
z
f(ζ)dζ. (5.3) Etant donn´ee la continuit´e def(z) au pointz, qui d´ecoule de son analyticit´e, cette derni`ere quantit´e tend vers f(z) lorsque h tend vers z´ero.
Une fonction dont la d´eriv´ee est ´egale `a une fonction donn´ee f(z) est une primitive de cette fonction. L’int´egrale de f(z), consid´er´ee comme fonction de sa
limite sup´erieure, est l’une des primitives de la fonction f(z). On peut montrer que deux primitives quelconques d’une fonction diff`erent l’une de l’autre au plus par une constante.
Plus g´en´eralement, si F(z) est une primitive quelconque d’une fonction ana- lytiquef(z), alors on a :
Z z
z0
f(ζ)dζ =F(z)−F(z0). (5.4)
6. Formule int´ egrale de Cauchy
Grˆace `a une application tr`es simple du th´eor`eme de Cauchy, il est possible de repr´esenter une fonction analytique f(z) comme une int´egrale de contour dans laquelle la variable z intervient comme un param`etre. Cette repr´esentation d’une fonction analytique, connue sous le nom de formule int´egrale de Cauchy, a des applications importantes et nombreuses.
Soitf une fonction analytique partout `a l’int´erieur d’un contour ferm´e simple C parcouru dans le sens direct, ainsi que sur ce contour lui-mˆeme. Siz est un point quelconque int´erieur `a C, on a:
f(z) = 1 2πi
I
C
f(ζ)
ζ−z dζ. (6.1)
La formule int´egrale de Cauchy (6.1) signifie que, pour une fonction f analytique
`
a l’int´erieur et sur la fronti`ere d’un contour ferm´e simple C, les valeurs de f int´erieures `aC sont compl`etement d´etermin´ees par les valeurs de f surC. Lorsque la formule int´egrale de Cauchy est ´ecrite sous la forme
I
C
f(ζ)
ζ−z dζ = 2πif(z), (6.2)
elle peut ˆetre utilis´ee pour calculer certaines int´egrales le long de contours ferm´es simples.
56 Chapitre 5 : Int´egration complexe
O x
y
• C
Figure 1 z
C0
!
Pour d´emontrer la formule (6.1), on choisit un nombre positif ρ assez petit pour que le cercle |ζ −z| = ρ, d´esign´e par C0 et orient´e dans le sens direct, soit int´erieur `aC (Fig. 1). Comme f est continue enz, il correspond `a chaque nombre positif , aussi petit soit-il, un nombre positif δ tel que |f(ζ)−f(z)| < lorsque
|ζ−z|< δ. Si donc ρ < δ, on aura |f(ζ)−f(z)|< sur le cercle C0.
Puisque la fonctionf(ζ)/(ζ−z) est analytique pour tous les points situ´es sur C et int´erieurs `a C, `a l’exception du point z, on peut appliquer le th´eor`eme de Cauchy pour un domaine multiplement connexe. L’int´egrale le long de la fronti`ere orient´ee de la r´egion entre C et C0 a pour valeur z´ero :
I
C
f(ζ) ζ−z dζ −
I
C0
f(ζ)
ζ−z dζ = 0. (6.3)
On peut donc ´ecrire : I
C
f(ζ)
ζ−z dζ −f(z) I
C0
1
ζ−z dζ = I
C0
f(ζ)−f(z)
ζ−z dζ (6.4)
Comme on a
I
C0
1
ζ−z dζ = 2πi, (6.5)
l’´equation (6.4) devient : I
C
f(ζ)
ζ−z dζ −2πif(z) = I
C0
f(ζ)−f(z)
ζ−z dζ. (6.6)
En utilisant la continuit´e de f et en remarquant que la longueur de C0 est 2πρ, on peut majorer l’int´egrale du membre de droite de l’´equation (6.6) :
I
C0
f(ζ)−f(z) ζ −z dζ
<
ρ2πρ = 2π. (6.7)
Comme est arbitrairement petit, la formule (6.1) est d´emontr´ee.
7. D´ eriv´ ees des fonctions analytiques
Si une fonction est analytique en un point, ses d´eriv´ees de tous les ordres existent et sont elles-mˆemes analytiques en ce point.
Supposons que f est analytique `a l’int´erieur d’un contour ferm´e simple C orient´e positivement, ainsi que sur ce contour lui-mˆeme. Soitzun point quelconque int´erieur `a C. Si ζ d´esigne un point de C, la formule int´egrale de Cauchy s’´ecrit :
f(z) = 1 2πi
I
C
f(ζ)
ζ−z dζ. (7.1)
On peut montrer que les d´eriv´ees de tous les ordres def au pointz existent et ont les repr´esentations int´egrales :
f(n)(z) = n!
2πi I
C
f(ζ)
(ζ−z)n+1 dζ. (7.2)
En particulier, si une fonction
f(z) =u(x, y) +iv(x, y) (7.3)
est analytique en un point z = (x, y), l’analyticit´e de f0 assure la continuit´e de f0. Puisque l’on a
f0(z) = ∂u
∂x +i∂v
∂x = ∂v
∂y −i∂u
∂y, (7.4)
il s’ensuit que les d´eriv´ees partielles du premier ordre de u et v sont continues en ce point. On d´emontre de mˆeme que les d´eriv´ees partielles de tous les ordres deu et v sont continues en tout point o`u f est analytique.
