I Etude d’une fonction logarithme.
Soit f la fonction numérique réelle définie sur l’intervalle I = ] -1 ; + ∞[ par f(x) = x –ln( 1+x).
dans laquelle ln désigne la fonction logarithme népérien.
1°) a) Etudier les limites de f aux bornes de I.
b) Justifier que f est dérivable sur I et calculer f ‘ (x).
c) Dresser le tableau des variations de f sur I.
2°) Démontrer que pour tout nombre réel x de I on a x ≥ f(x).
II Etude de suites adjacentes.
On désigne par U la suite de terme général Un = Sn – ln(n) pour tout entier naturel non nul n et où Sn =
n i
i 1 i
1 = 1 + 2
1 + . . . + n 1 .
1°) a) Démontrer que pour tout entier naturel non nul n on a : Un+1 - Un =
1 1
n ln( 1 - 1 1
n ) b) Etudier le sens de variation de U.
2°) Soit V la suite de terme général Vn = Un -
n
1 pour tout entier naturel non nul.
a) Démontrer que pour n , nombre entier non nul on a : Vn+1 - Vn =
n
1 - ln( 1 + 1 1
n ) b) Etudier le sens de variation de la suite V.
3°) Démontrer que U et V sont deux suites adjacentes. On note L la limite commune de ces suites.
III Calcul de L .
L est appelée CONSTANTE D’EULER . 1°) Calculer U10 et V10.
2°) En déduire un encadrement de L.
