Exercices sur les suites adjacentes

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suites adjacentes T S

Exercices sur les suites adjacentes

Exercice 1 :Soient les suites(𝑢_𝑛)et(𝑣_𝑛)définies par𝑢_𝑛 = 1−¹_𝑛 et𝑣_𝑛 = 1 +_𝑛¹2. Montrer que ces suites sont adjacentes.

Exercice 2 :On étudie les suites(𝑢_𝑛)et (𝑣_𝑛)définies par {𝑢₀= 2

𝑣₀= 3 et

{𝑢_𝑛+1=^3𝑢^𝑛^+2𝑣₅ ^𝑛 𝑣_𝑛+1= ^2𝑢^𝑛^+3𝑣₅ ^𝑛

1. Démontrer par récurrence sur𝑛que𝑣_𝑛−𝑢_𝑛 >0

2. Montrer que la suite (𝑤_𝑛)définie par𝑤_𝑛=𝑣_𝑛−𝑢_𝑛 est une suite géométrique.

3. Démontrer que les suites (𝑢_𝑛)et(𝑣_𝑛)sont adjacentes.

4. a. Calculer𝑢_𝑛+1+𝑣_𝑛+1 en fonction de𝑢_𝑛+𝑣_𝑛

b. Que peut-on en déduire sur la suite(𝑥_𝑛)définie par𝑥_𝑛 =𝑢_𝑛+𝑣_𝑛? 5. En déduire la limite commune des suites(𝑢_𝑛)et(𝑣_𝑛).

Exercice 3 :Soient les suites(𝑢_𝑛)et(𝑣_𝑛)définies par les formules suivantes : 1. 𝑢_𝑛= _𝑛+1⁻¹ et 𝑣_𝑛= _𝑛+3¹ .

2. 𝑢_𝑛= 1−¹_𝑛 et𝑣_𝑛 = 1 + sin(_𝑛¹).

3. 𝑢_𝑛= 3−_𝑛¹² et𝑣_𝑛= 3 + _𝑛¹3.

Étudier si ces suites sont adjacentes. Dans ce cas, déterminer leur limite commune.

Exercice 4 :Soient les suites(𝑢_𝑛)et(𝑣_𝑛)définies par les formules suivantes : 𝑢_𝑛= 1 +_1!¹ +_2!¹ +⋅ ⋅ ⋅+_𝑛!¹ et𝑣_𝑛 =𝑢_𝑛+_𝑛!¹.

1. Écrire ces suites à l’aide du symbole∑.

2. Montrer que ces suites sont adjacentes. (Remarque : on montre que leur limite commune est 𝑒).

Exercice 5 :Soient les suites(𝑢_𝑛)et(𝑣_𝑛)définies par les formules suivantes : 𝑢_𝑛= ∑^𝑛

𝑝=1 1

𝑝² et𝑣_𝑛=𝑢_𝑛+_𝑛¹.

Montrer que ces suites sont adjacentes. (Remarque : on peut montrer que leur limite commune est ^𝜋₆² ).

Exercice 6 :Les suites(𝑢_𝑛)et(𝑣_𝑛)sont définies par : {𝑢₀= 2

𝑣₀= 1 et

⎧

⎨

⎩

𝑢_𝑛+1= 𝑢_𝑛+𝑣_𝑛 2 𝑣_𝑛+1=√𝑢_𝑛𝑣_𝑛

1. Montrer que pour tout𝑛∈ℕon a𝑢_𝑛+1−𝑣_𝑛+1≥0; puis que pour tout𝑛∈ℕon a𝑢_𝑛−𝑣_𝑛 ≥0.

En déduire que pour tout 𝑛∈ℕon a𝑢_𝑛+1−𝑣_𝑛+1≤ 𝑢_𝑛−𝑣_𝑛 2 . 2. Montrer que les suites (𝑢_𝑛)et(𝑣_𝑛)sont adjacentes.

Exercice 7 :Les suites(𝑢_𝑛)et(𝑣_𝑛)sont définies sur ℕpar : {𝑢₀= 1

𝑣₀= 2 et

{𝑢_𝑛+1=^𝑢^𝑛^+𝑣₂ ^𝑛 𝑣_𝑛+1= ^𝑢^𝑛+1₂^+𝑣^𝑛

1. Démontrer qu’il existe un réel 𝑘tel que , quel que soit𝑛∈ℕ𝑣_𝑛+1−𝑢_𝑛+1=𝑘(𝑣_𝑛−𝑢_𝑛) 2. Montrer par récurrence que pour tout𝑛∈ℕ 𝑢_𝑛< 𝑣_𝑛

3. Montrer que les suites (𝑢_𝑛)et(𝑣_𝑛)sont convergentes.

4. Soit𝑤_𝑛= ∑^𝑛

𝑝=0

(𝑣_𝑝−𝑢_𝑝). Donner l’expression de𝑤_𝑛 en fonction de𝑛.

5. Exprimer ∑^𝑛

𝑝=0

(𝑢_𝑝+1−𝑢_𝑝)en fonction de𝑤_𝑛, puis en fonction de 𝑢_𝑛 et de 𝑢₀. 6. En déduire l’expression de𝑢_𝑛 en fonction de𝑛.

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suites adjacentes T S

7. Quelle est la limite de(𝑣_𝑛)?

Exercice 8 :On considère les suites(𝑢_𝑛)et (𝑣_𝑛)définies pour tout𝑛≥1par : {𝑢₁= 1

𝑣₁= 12 et

{𝑢_𝑛+1=^𝑢^𝑛^+2𝑣₃ ^𝑛 𝑣_𝑛+1=^𝑢^𝑛^+3𝑣₄ ^𝑛 1. Calculer𝑢₂ et𝑣₂ puis𝑢₃ et𝑣₃.

2. On définit la suite (𝑤_𝑛) par 𝑤_𝑛 =𝑣_𝑛 −𝑢_𝑛. Montrer que (𝑤_𝑛) est une suite géométrique et préciser sa limite.

3. Après avoir étudié le sens de variation des suites(𝑢_𝑛)et(𝑣_𝑛), démontrer que ces deux suites sont adjacentes.

Que peut-on en déduire ?

4. On définit la suite(𝑡_𝑛)par𝑡_𝑛 = 3𝑢_𝑛+ 8𝑣_𝑛. 5. Montrer que(𝑡_𝑛)est une suite constante.

6. En déduire la limite commune des suites(𝑢_𝑛)et(𝑣_𝑛).