Exercices sur les suites : Encadrement des termes de suites

2011-2012 TS 1/ 1 Encadrement de suites

Exercices sur les suites : Encadrement des termes de suites

Exercice 1

Soit(u_n)la suite définie pour tout entier naturelnparu_n= (−1)ⁿ+ sin(n)

3ⁿ .

Montrer que pour toutn∈N|u_n| ≤2× 1

3ⁿ. En déduire lim

n→+∞

u_n.

Exercice 2

Soit(v_n)la suite définie pour tout entier natureln≥1 parv_n= 1 n(2−sin(n)). Montrer que pour toutn∈N^∗ 1

3n ≤v_n≤ 1 n.

En déduire que la suite(v_n)converge et préciser sa limite.

Exercice 3

Soit(u_n)la suite définie pour tout entier natureln≥2paru_n =3n+ (−1)ⁿcos(n) n−1 .

Montrer que pour toutn≥2on a :|u_n−3|est majorée par le terme général d’une suite convergeant vers0.

Exercice 4

Soit(u_n)la suite définie pour tout entier natureln≥3paru_n = n! n². Montrer que pour toutn≥3on a :u_n≥ (n−1)(n−2)

n . Que peut-on en déduire sur la suite (u_n)?

Exercice 5

Soit(u_n)la suite définie pour tout entier natureln≥1paru_n = 1

n² + 1

n²+ 1+· · ·+ 1 n²+ 2n+ 1. 1. Écrire u_n à l’aide du symboleP

.

2. Montrer que pour tout entierktel que 0≤k≤2n+ 1on a : 1

n²+ 2n+ 1 ≤ 1

n²+k ≤ 1 n² 3. En déduire un encadrement de la suite(u_n).

4. Que peut-on en déduire pour la suite (u_n)?

Exercice 6

À tout entier natureln(n≥1), on associe les sommess_n ett_n définies par : s_n= 1

√n²+ 1 + 1

√n²+ 2+· · ·+ 1

√n²+k +· · ·+ 1

√n²+n

t_n= 1

√n⁴+ 1+ 1

√n⁴+ 2+· · ·+ 1

√n⁴+k+· · ·+ 1

√n⁴+n²

1. a. Dire, en justifiant, quels sont, dans l’expression de s_n, le plus petit et le plus grand des termes qui composent cette somme.

b. Déterminer un encadrement des_n.

c. Montrer à l’aide de cet encadrement que lim

n→+∞

s_n= 1.

2. En utilisant la même démarche, trouver lim

n→+∞

t_n.

Exercice 7

Soit(u_n)la suite définie pour tout entier natureln≥1paru_n = 1 + 1

√2 + 1

√3 +· · ·+ 1

√n. Donner une minoration deu_n par le terme général d’une suite divergente.

Exercice 8

Soit(w_n)la suite définie pour tout entier natureln≥1parw_n= 1! + 2! +· · ·+n! (n+ 1)! .

1. Montrer par récurrence que pour tout entiern≥2on a l’inégalité : 1! + 2! +· · ·+ (n−1)!≤n! 2. Justifier que pour toutn≥2 on a :0< w_n ≤ 2

n+ 1 3. Que peut-on en déduire sur la suite (w_n)?

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