Exercices sur les suites
I Vrai ou faux ?
(Questions possibles au bac pour une Restitution Organisée des Connaissances ou un QCM).
Répondre par vrai ou faux et justifier chaque ré- ponse.
1. Si une suite n’est pas majorée, alors elle tend vers+∞.
2. Si une suite n’est pas minorée alors elle tend vers−∞.
3. Si une suite est strictement croissante alors elle tend vers+∞.
4. Si une suite tend vers +∞, alors elle n’est pas majorée.
5. Si une suite tend vers +∞, alors elle est crois- sante.
6. Toute suite bornée est convergente (c’est-à-dire possède une limite réelle).
7. Toute suite croissante non majorée tend vers +∞.
II
Justifier les limites suivantes avec la définition : 1. lim
n→+∞2n+3= +∞
2. lim
n→+∞−n+6= −∞
3. lim
n→+∞n2= +∞
4. lim
n→+∞6−n2= −∞
5. lim
n→+∞5p
n= +∞
6. lim
n→+∞
n2+3 n+1 = +∞
III
1. Démontrer par récurrence que, pour pour tout réelxpositif et toutn≥0 :
(1+x)n≥1+nx(inégalité de Bernoulli}.
2. En déduire que, siq>1, lim
n→+∞qn= +∞. 3. En déduire la limite deqnlorsque 0<q<1.
4. En déduire la limite deqnlorsque−1<q<0.
IV
On considère la suite numérique (un) définie par : u0=1 et pour toutn∈N,un+1=2un+3
un+2 .
1. Calculer les quatre premiers termes de la suite.
2. On appellef la fonction, définie sur ]−3 ; +∞[ parf(x)=2x+3
x+2 .
Montrer que f est croissante sur ]−2 ; +∞[.
3. Calculerf(1) puis montrer que f(p 3)=p
3.
4. Prouver par récurrence que pour tout n ∈ N, unÊ1.
5. Démontrer que la suite est majorée parp 3.
6. Déterminer le sens de variation de la suite (un).
7. On considère la suite (vn) définie par : pour tout n∈N,
vn=un−p 3 un+p
3 .
(a) Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison.
(b) Exprimervn, puisun, en fonction den
