On admet que, si une suite (u n ) n≥1 converge vers `, alors on a : lim

ECS2 Lyc´ ee Louis Pergaud

Devoir maison ` a rendre le 05/10/2021

DM3

Exercice 1

On admet que, si une suite (u n ) _n≥1 converge vers `, alors on a : lim

n→+∞

1 n

n

X

k=1

u k = `.

Dans toute la suite, on consid` ere une suite (x n ) _n∈N

^∗

de r´ eels positifs telle que la s´ erie de terme g´ en´ eral x n

converge. Pour tout entier naturel n non nul, on note : S n =

n

X

k=1

x k , T n = 1 n + 1

n

X

k=1

S k et y n = 1 n(n + 1)

n

X

i=1

ix i .

1. (a) Montrer que : ∀n ∈ N ^∗ ,

n

X

k=1

y _k = 1 n + 1

n

X

i=1

(n + 1 − i)x _i . En d´ eduire que, pour tout n de N ^∗ , on a :

n

X

k=1

y k = T n .

(b) En utilisant le r´ esultat admis au d´ ebut de ce probl` eme, ´ etablir que la s´ erie de terme g´ en´ eral y n

converge et que :

+∞

X

n=1

y n =

+∞

X

n=1

x n .

2. Dans cette question, on pose, pour tout entier naturel n non nul : z n =

n

Y

k=1

x k

!

_n¹

.

On se propose de montrer que la s´ erie de terme g´ en´ eral z _n converge et que sa somme v´ erifie :

+∞

X

n=1

z _n ≤ e

+∞

X

n=1

x _n .

(a) On admet que si une fonction f est concave sur un intervalle I, alors, pour tout entier naturel n non nul, on a : ∀(a 1 , a ₂ , . . . , a _n ) ∈ I ⁿ , 1

n

n

X

k=1

f (a _k ) ≤ f 1 n

n

X

k=1

a _k

! .

Montrer que : ∀n ∈ N ^∗ , ∀(a 1 , a 2 , . . . , a n ) ∈ ( R + ) ⁿ ,

n

Y

k=1

a k

!

¹_n

≤ 1 n

n

X

k=1

a k .

(b) Justifier que, pour tout entier naturel n non nul, on a : z n = 1 (n!) ^1/n

n

Y

k=1

kx k

! 1/n

. En d´ eduire que : z n ≤ n + 1

(n!) ^1/n y n .

(c) Montrer que, pour tout r´ eel x positif, on a : ln(1 + x) ≤ x.

(d) En d´ eduire que : ∀n ∈ N ^∗ ,

1 + 1 n

ⁿ

≤ e.

(e) ´ Etablir que, pour tout entier naturel n non nul, on a : (n + 1) ⁿ

n! =

n

Y

k=1

1 + 1

k ^k

.

Montrer enfin que la s´ erie de terme g´ en´ eral z n converge et que :

+∞

X

n=1

z n ≤ e

+∞

X

n=1

x n .

1