Limites et continuité Si f est continue en a , alors lim
x →→→→ af(x) = f(a) ou lim
h →→→→ 0f(a + h) = f(a) Si lim
n →→→→ +∞∞∞∞un = L et f continue en L , alors lim
n →→→→ +∞∞∞∞f(un) = f(L) exemple 1
θ est un réel tel que 0 < θ < π
2 . (un) est la suite définie par
u0 = 2 cos θ un+1 = 2 + un
1. Calculer u1 et u2 en fonction de θ
2. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n , un = 2 cos
θ 2n 3. En déduire la limite de la suite (un) .
Indications
-
pour 1) , utiliser la formule cos 2x = 2 cos² x − 1
-pour 3) , déterminer la limite de la suite
θ
2
n-
utiliser la continuité de cos en 0 , c'est-à-dire lim
x → 0cos x = cos 0 = 1
-conclure sur la limite de (u
n)
Pour les suites un+1 = f(un) Si
lim
n →→→→ +∞∞∞∞un = L
f est continue en L alors L est solution de l'équation f(x) = x exemple 2
Soit (Un) la suite définie par
U0 = − 2 Un+1 = 1
4Un + 3
1. Montrer par récurrence que la suite (Un) est majorée par 4 2. En déduire qu'elle est monotone .
3. Quelle est la seule limite L envisageable pour la suite (un) ? 4. En posant vn = un − L , confirmer la conjecture de la question 3
Indications
-
pour 2) calculer U
n+1− U
net déterminer son signe sachant que U
n≤ 4 , pour tout n
-
A l'aide de la continuité de la fonction f : x → 1
4 x + 3 , déterminer l'équation que doit vérifier L et résoudre cette équation
-
Montrer que (v
n) est une suite géométrique et en déduire u
nen fonction de n
exemple 3Soit (un) la suite définie par
u0 = 1
un+1 = − 1 − un² . Montrer que (un) diverge
Indications
-
en supposant que (u
n) converge vers L , et en utilisant la continuité de la fonction : x → − 1 − x² , indiquer l'équation que doit vérifier L
-
résoudre cette équation
-conclure
exercice
Soit (un) la suite définie par
u0 = 23un+1 = 1 − un
2
1) Montrer par récurrence que pour tout naturel n , un ∈ [− 1 ; 1]
2) Déterminer le réel α0 de
− π 2 , π
2 tel que u0 = sin(α0) 3) Soit (αn) la suite définie par αn+1 = π
4−αn
2
Montrer par récurrence que pour tout naturel n , un = sin(αn) 4) On considère la suite (βn) définie par βn = αn − π
6
a) Démontrer que cette suite est géométrique et en déduire αn en fonction de n b) Déterminer la limite de la suite (αn) , puis celle de (un)
