Si f est d´erivable ena, alors f est continue en a

Analyse 1

FONCTIONS DERIVABLES

1. La d´eriv´ee d’une fonction

D´efinition. Soient I un intervalle de R, f :I →R une fonction eta ∈I. On dit que f est d´erivable en a si

f(x)−f(a) x−a

tend vers une limite quand x tend vers a. Si elle existe, cette limite, not´ee f⁰(a), s’appelle la d´eriv´ee de f en a.

Interpr´etation g´eom´etrique.Le rapport f(x)−f(a)

x−a est la pente de la s´ecante (droite passant par les points (a, f(a)) et (x, f(x))). Sa limite est la pente de la tangente au graphe def en (a, f(a)). Donc f est d´erivable en a si et seulement si son graphe admet une tangente en (a, f(a)).

Proposition. Si f est d´erivable ena, alors f est continue en a. La r´eciproque est fausse.

D´efinition. On dit que la fonction f : I →R est d´erivable si f est d´erivable en tout a∈I. On d´efinit alors sa d´eriv´ee f⁰ :I →R.

2. R`egles de calcul D´eriv´ee d’une somme

Proposition. Soient f, g : I →R et a ∈R. Si f et g sont d´erivables en a, alors f+g est d´erivable en a et (f +g)⁰(a) =f⁰(a) +g⁰(a).

Plus g´en´eralement sous les mˆemes hypoth`eses, pourλ, µ∈R,λf+µg est d´erivable en a et (λf +µg)⁰(a) =λf⁰(a) +µg⁰(a). On dit que l’op´eration de d´erivation est lin´eaire.

D´eriv´ee d’un produit

Proposition. Soient f, g : I → R et a ∈ I. Si f et g sont d´erivables en a, alors f g est d´erivable en a et (f g)⁰(a) =f⁰(a)g(a) +f(a)g⁰(a).

D´eriv´ee d’un quotient

Proposition. Soientf, g :I →Reta ∈Ravecg(a)6= 0. Sif etgsont d´erivables en a, alors f /g est d´erivable en a et

f /g0

(a) = f⁰(a)g(a)−f(a)g⁰(a) g(a)²

D´eriv´ee d’une fonction compos´ee

Proposition. Soient f : I → R, g : J → R, avec f(I) ⊂ J et a ∈ I. Si f est d´erivable en a et g est d´erivable en f(a), alors g◦f est d´erivable en a et

(g◦f)⁰(a) =g⁰(f(a)).f⁰(a)

3. La condition n´ecessaire du 1er ordre

Th´eor`eme. Soit I un intervalle ouvert et f :I → R. Si f atteint un maximum en a∈I et si f est d´erivable en a, alorsf⁰(a) = 0.

4. Th´eor`emes de Rolle et des accroisssements finis

Th´eor`eme [Rolle]. Soient a < b et f : [a, b]→R continue sur [a, b] et d´erivable sur ]a, b[. On suppose quef(a) =f(b). Alors il existe c∈]a, b[ tel que f⁰(c) = 0.

Th´eor`eme [Accroisssements finis]. Soient a < bet f : [a, b]→R continue sur [a, b] et d´erivable sur ]a, b[. Alors il existe c∈]a, b[ tel que

f⁰(c) = f(b)−f(a) b−a

5. D´eriv´ees d’ordre sup´erieur

D´efinition. Soient I un intervalle de R, f : I → R une fonction d´erivable et a∈I. On dit quef est deux fois d´erivableena si f⁰ est d´erivable en a. La d´eriv´ee de f⁰ en a s’appelle la d´eriv´ee seconde de f en a et se note f⁰⁰(a). On dit que f est deux foisd´erivablesi f⁰ est d´erivable.

On d´efinit par r´ecurrence la k-d´erivabilit´e d’une fonction f. La d´eriv´ee k-i`eme se notef^(k) et on af^(k)= (f^(k−1))⁰. On dit que f est ind´efiniment d´erivable si f est k-d´erivable pour tout k. On dit quef est de classeC^ksif^(k)existe et est continue.

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