Définition 44. Soit f une fonction numérique et a un nombre réel. On dit que f est continue en a (ou continue au point a) si lim

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4.4 Continuité

Définition 44. Soit f une fonction numérique et a un nombre réel. On dit que f est continue en a (ou continue au point a) si lim

x→a

f(x) = f(a).

Soit I un intervalle de R , on dit que f est continue sur I si elle est continue en tout point de I . Enfin on dit que f est continue si elle est continue en tout point de son ensemble de définition.

Remarque 36. Le fait que f est continue en a indique que les valeurs f(x) se rapprochent de f (a) lorsque x se rapproche de a.

En terme de représentation graphique, le fait que f soit continue sur un intervalle permet de tracer son graphe sur cet intervalle "sans lever le stylo".

Exemple 67. Toutes les fonctions qu’on a étudiées jusqu’à maintenant, et celles qu’on étudiera par la suite, sont continues sur leur ensemble de définition, sauf la fonction partie entière :

x �→ f(x) = n où n est l’entier relatif tel que n ≤ x < n + 1

qui n’est pas continue aux points entiers relatifs (les éléments de Z ). Pour tracer le graphe de cette fonction, il faut "lever le stylo".

Exemple 68. Soit f une fonction numérique et (x

)

la suite récurrente définie par le procédé

itératif _�

x

fixé

pour tout n ≥ 0, x

= f(x

).

Si on suppose que f est continue et que (x

)

tend vers une limite réelle l, on retrouve le fait que f (l) = l (on dit que l est un point fixe de f) à partir de la définition de la continuité et de la propriété reliant les limites de fonctions aux limites de suites 4.4.

Définition 45. Soit f une fonction numérique définie sur D

et a / ∈ D

un nombre réel pour lequel f n’est pas définie. Soit l un nombre réel, on suppose que lim

x→a

f (x) = l. On appelle prolongement par continuité de f en a la fonction g définie par

x �→ g(x) =

� f(x) si x ∈ D

, l si x = a,

Exemple 69. Prolongement par continuité en 0 de la fonction x �→

définie sur R

.

Exemple 70. Soit a > 0, on peut prolonger par continuité en 0 la fonction x �→ a

qui est définie sur

R

= ]0, + ∞ [ .

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On déduit des opérations sur les limites le résultat suivant : 4.7. Propriété – opérations sur les fonctions continues.

Soit f et g deux fonctions numériques et I et J deux intervalles de R , alors :

— si on suppose f et g continues sur I alors les fonctions f + g et f × g sont continues sur I ;

— si on suppose de plus que g ne s’annule pas sur I, alors la fonction

est continue sur I ;

— si on suppose que f est continue sur I, que l’image f (I) de I par f est incluse dans J et que g est continue sur J alors g ◦ f est continue sur I.

Exemple 71. La fonction logistique x �→

est continue sur R .

Une propriété essentielle des fonctions continues est donnée par le théorème suivant : 4.8. Théorème – Valeurs intermédiaires.

Soit I un intervalle de R et soit f une fonction continue, alors l’image f(I ) de I par f est un intervalle.

On rappelle que par définition les intervalles de R sont les ensembles de la forme : (a, b) ou ] − ∞ , a) ou (a, + ∞ [

où les parenthèses peuvent être remplacées indifféremment par [ et ]. La propriété qui caractérise un intervalle I est alors

∀ a ∈ I, ∀ b ∈ I, [a, b] ⊂ I

On applique en général le théorème des valeurs intermédiaires dans le cas particulier où I = [a, b] : 4.9. Théorème – Valeurs intermédiaires - résolution d’équation.

Si f est continue sur le segment [a, b] et si le réel α est entre les valeurs f(a) et f (b) alors il existe au moins un nombre c dans le segment [a, b] tel que f(c) = α. Autrement dit l’équation f(x) = α a au moins une solution.

Graphiquement, on se trouve dans la situation suivante :

x

y y = f (x)

f(a)

a f (b)

b α

c

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Première application : existence d’un zéro d’une fonction continue

Si f est continue sur le segment [a, b] et si f (a) et f(b) n’ont pas le même signe alors il existe un réel c entre a et b tel que f(c) = 0. Un tel nombre est appelé zéro de la fontion f : c’est une solution de l’équation f (x) = 0.

Exemple 72. La fonction polynôme f : x �→ x

− 3x + 1 s’annule entre 0 et 1.

Deuxième application : existence d’un point fixe d’une fonction continue

Si f est continue sur le segment [a, b] et si on suppose que les deux images f(a) et f(b) sont dans le segment [a, b] alors il existe un réel c entre a et b tel que f(c) = c. Un tel nombre est appelé point fixe de la fontion f : c’est une solution de l’équation f (x) = x.

Exemple 73. La fonction cosinus a un point fixe sur le segment ^� 0,

^� .

Troisième application : le théorème de la bijection

Définition 46. Soit f une fonction numérique et I un intervalle, on dit que f est croissante sur I si on a

∀ x ∈ I, ∀ y ∈ I, x ≤ y ⇒ f (x) ≤ f (y) On dit f est strictement croissante sur I si on a

∀ x ∈ I, ∀ y ∈ I, x < y ⇒ f (x) < f (y) On dit que f est décroissante sur I si on a

∀ x ∈ I, ∀ y ∈ I, x ≤ y ⇒ f (x) ≥ f (y) On dit f est strictement décroissante sur I si on a

∀ x ∈ I, ∀ y ∈ I, x < y ⇒ f (x) > f (y)

On dit que f est strictement monotone sur I si elle est strictement croissante sur I ou strictement décroissante sur I.

On a alors le théorème suivant :

4.10. Théorème – de la bijection.

Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle I . Si on suppose que f est continue et strictement monotone sur I alors f est une bijection de I sur son image f (I).

Exemple 74. La fonction exp est une bijection de R dans R

= ]0, + ∞ [ . La restriction de la fonction inverse x �→

à R

= ]0, + ∞ [ est une bijection de R

dans R

.

Quatrième application : calcul du zéro d’une fonction continue

Soit f une fonction continue sur le segment [a, b] telle que f (a) et f(b) n’ont pas le même signe.

Pour calculer une solution de l’équation f(x) = 0 sur un segment [a, b], on emploie classiquement les

méthodes de dichotomie ou de la sécante, qui fonctionnent sur le modèle suivant :

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1. on choisit une précision p > 0 2. on définit c = a

3. tant que | f (c) | > p on répète les opérations :

— on définit un nouveau point c dans l’intervalle ouvert ]a, b[ ,

— si f(a) et f (c) sont de signe différent on redéfinit b = c,

— si f(a) et f (c) sont de même signe on redéfinit a = c 4. on renvoie la valeur c.

La valeur c obtenue est alors une solution de f(x) = 0 à la précision p près, puisqu’on a

− p ≤ f(c) ≤ p

La difficulté se trouve dans la définition du nouveau point c à chaque étape :

— dans la méthode de la dichotomie, on choisit pour c le milieu de a et b, c’est-à-dire c =

.

— dans la méthode de la sécante, à chaque étape on remplace f par la corde entre les points (a, f (a)) et (b, f(b)), ce qui donne

c = af (b) − bf(a) b − a

Exemple 75. On cherche une solution de x

= 2 avec la précision 0,1 dans le segment [1, 2].