1-a. f est continue sur [0, 1] intervalle ferm´ e born´ e donc elle est uniform´ ement continue.

Analyse M1 ENSM Ch. Menini

El´ ements de correction de l’examen - jeudi 2 mai 2013

Exercice

1-a. f est continue sur [0, 1] intervalle ferm´ e born´ e donc elle est uniform´ ement continue.

1-b. Avec le relation de Chasles, T (f ) = P n k=1

R

^k_n

k−1 n

f (t) dt et

|T (f ) − T n (f )| ≤

n

X

k=1

Z

_n^k

k−1 n

f(t) − f ( k n )

dt

≤

n

X

k=1

Z

^k_n

k−1 n

f (t) − f ( k n )

dt.

Puis avec 1.a

∀ε > 0 ∃n ε (= [ 1

η ] + 1) ∀n ≥ n _ε |T (f ) − T _n (f)| ≤

n

X

k=1

Z

_n^k

k−1 n

ε dt ≤ ε.

La suite (T n (f )) n converge vers T (f ).

2. La lin´ earit´ e r´ esulte de la lin´ earit´ e de l’int´ egrale et de la somme.

3-a. Pour tout f de C([0, 1]) et tout entier non nul n

|T _n (f )| ≤ 1 n

n

X

k=1

kf k _∞ dt ≤ kf k _∞ .

L’application lin´ eaire T n est continue et de norme inf´ erieure ou ´ egale ` a 1. Si on note 1 la fonction constante ´ egale ` a 1, T _n (1) = 1 et k1k ∞ = 1 donc kT n k = 1.

3-b. Pour tout f de C([0, 1])

|T (f )| ≤ Z 1

0

kf k _∞ dt ≤ kfk _∞ T (1) = 1 donc T est continue et de norme 1.

4-a. T _n (f _n ) = _n ¹ P n

k=1 cos(2πn ^k _n ) = 1 et T (f n ) =

Z 1

0

cos(2πnt) dt = 1

2πn sin(2πnt) 1

0

= 0.

4-b. kf n k _∞ = 1 et |(T n − T )(f n )| = 1 d’o` u kT n − T k ≥ 1. La suite d’applications lin´ eaires (T n ) n converge ponctuel- lement sur C([0, 1]) mais ne converge pas en norme.

Probl` eme 1 - Suite de Fibonacci Pr´ eliminaire

1-a. Les solutions sont φ = ¹⁺

√ 5

2 (nombre d’or) et ψ = ¹⁻

√ 5 2 .

1-b. φ et ψ sont solutions de l’´ equation x ² − x − 1 = 0 donc φ ² = φ + 1 et φ = 1 + 1

φ (de mˆ eme ψ = 1 + 1

ψ ). Toujours en utilisant que φ et ψ sont les deux solutions de l’´ equation x ² − x − 1 = 0 on a φψ = −1.

2-a. Une r´ ecurrence imm´ ediate nous donne que la suite (F n ) est ` a termes positifs. F 0 ≤ F 1 puis pour n ≥ 1, F n+1 − F n = F _n−1 qui est positif. La suite est croissante.

2-b. Montrons que la suite n’est pas major´ e. Notons (H n ) l’assertion : F n ≥ n, (H 1 ) et (H 2 ) sont v´ erifi´ es car F 1 = 1 et F 2 = 2.

Montrons que pour tout entier n ≥ 2, [(H p ), 1 ≤ p ≤ n] implique (H n+1 ), F n+1 = F n + F n−1 ≥ n + n − 1 ≥ n + 1 en utilisant (H _n ) et (H _n−1 ) et que n − 1 ≥ 1.

Nous obtenons par r´ ecurrence (forte) que pour tout n ≥ 1, F _n ≥ n, dont on d´ eduit que lim _n→+∞ F _n = +∞.

Partie I - Expression de F _n en fonction de n 1-a. Le d´ eterminant du syst` eme est ψ − φ = − √

5 6= 0, c’est un syst` eme de Cramer, il admet une unique solution (a, b).

1-b.

a = ψ − 1 ψ − φ = −1

ψ √ 5 = φ

√ 5 b = 1 − φ ψ − φ = 1

φ √

5 = − ψ

√ 5

1

2. Si on utilise directement que l’ensemble des suites r´ eelles (u n ) n v´ erifiant la relation u n+2 = u n+1 + u n est un R - espace vectoriel de dimension 2, de base les suites (φ ⁿ ) n et (ψ ⁿ ) n alors le r´ esultat d´ ecoule imm´ ediatement du I.1. Si on a oubli´ e ce r´ esultat alors on peut le retrouver en montrant par r´ ecurrence la relation (H n ) : F n = 1

√

5 (φ ⁿ⁺¹ − ψ ⁿ⁺¹ ).

Elle est v´ erifi´ ee pour n = 0 et n = 1 ;

montrons que pour tout n ≥ 1, [(H _p ), 0 ≤ p ≤ n] implique (H _n+1 ) : F n+1 = F n + F _n−1 = 1

√ 5 ((φ + 1)φ ⁿ − (ψ + 1)ψ ⁿ ) = 1

√ 5 φ ² φ ⁿ − ψ ² ψ ⁿ .

soit (H _n+1 ). On a donc (H _n ) pour tout entier n.

Partie II - Une suite convergeant vers φ 1. u n+1 = F n+2

F _n+1 = F n+1 + F n

F _n+1 = 1 + F n

F _n+1 = 1 + 1

u _n , pour tout entier n.

2.

2-a. La fonction f est continue et d´ ecroissante sur [1, 2] donc f ([1, 2]) = [f(2), f(1)] = [ ³ ₂ , 2].

2-b. f est d´ erivable sur [ ³ ₂ , 2] et f ⁰ (x) = − 1

x ² , |f ⁰ | est d´ ecroissante sur [ ³ ₂ , 2] et k = |f ⁰ (3/2)| = 4/9.

3. u 1 = 2 ∈ [ ³ ₂ , 2], pour tout entier n ≥ 1, u n+1 = f (u n ), f est d´ erivable sur [ ³ ₂ , 2] et avec II.2.a, f ([ ³ ₂ , 2]) ⊂ [ ³ ₂ , 2]

d’o` u le r´ esultat.

4. Tout d’abord remarquons que f (φ) = φ et que φ ∈ [ ³ ₂ , 2]. Pour tout entier n ≥ 1, u n ∈ [ ³ ₂ , 2] et avec l’in´ egalit´ e des accroissements finis

∀n ≥ 1 |u n+1 − φ| = |f (u _n ) − f (φ)| ≤ k|u n − φ|

ce qui permet d’en d´ eduire par r´ ecurrence que

∀n ≥ 1 |u _n − φ| ≤ k ⁿ⁻¹ |u ₁ − φ|.

Reste ` a v´ erifier que |u 1 − φ| ≤ k et que |u 0 − φ| ≤ 1 pour pouvoir conclure.

|u 1 − φ| ≤ k ⇔ 3 − √ 5

2 ≤ 4

9 ⇔ 19 ≤ 9 √ 5 et la derni` ere assertion est exacte.

|u 0 − φ| ≤ 1 ⇔

√ 5 − 1

2 ≤ 1 ⇔ √ 5 ≤ 3 et la derni` ere assertion est exacte.

5. 0 ≤ k < 1 donc lim

n→+∞ k ⁿ = 0 et avec II.4. la suite (u _n ) _n converge vers φ.

6. Avec l’expression de F n trouv´ ee dans la partie I,

∀n ∈ N u n = φ ⁿ⁺² − ψ ⁿ⁺²

φ ⁿ⁺¹ − ψ ⁿ⁺¹ = φ 1 − ( ^ψ _φ ) ⁿ⁺² 1 − ( ^ψ _φ ) ⁿ⁺¹ . Or | ^ψ _φ | =

√ 5−1

√ 5+1 qui est positif et strictement inf´ erieur ` a 1. D’o` u lim

n→+∞

_ψ

φ

n

= 0 et lim

n→+∞ u n = φ.

Partie III - φ comme somme d’une s´ erie

1. On a vu dans les pr´ eliminaires que la suite (F _n ) _n est une suite croissante de termes positifs et telle que lim

n→+∞ F _n = +∞. On en d´ eduit que la suite

1 F k F k+1

n

est d´ ecroissante et converge vers 0. Avec le th´ eor` eme des s´ eries altern´ ees la s´ erie de terme g´ en´ eral (−1) ^k

F k F k+1

converge.

2-a. F _k+2 ² − F k+1 F k+3 = F k+2 (F k + F k+1 ) − F k+1 (F k+2 + F k+1 ) = F k+2 F k − F _k+1 ² .

2-b. Notons pour tout entier k, v k = F _k+1 ² − F k F k+2 , avec la question pr´ ec´ edente nous avons que pour tout entier k, v k+1 = −v k et avec une r´ ecurrence imm´ ediate v k = (−1) ^k v 0 . v 0 = F ₁ ² − F 0 F 2 = −1, d’o` u pour tout entier k on a F _k+1 ² − F _k F _k+2 = (−1) ^k+1 .

2-c. Pour tout entier k, u k+1 − u k = F k+2 F k − F _k+1 ²

F _k F _k+1 = (−1) ^k

F _k F _k+1 avec III.2.b.

3. Avec ce qui pr´ ec` ede, pour tout entier n, S n =

n

X

k=0

(u k+1 − u k ) = u n+1 − u 0 .

2

On a vu dans la partie II que la suite (u n ) converge vers φ donc la suite (S n ) converge vers φ − 1, soit

+∞

P

k=0

(−1) ^k F k F k+1

= φ − 1.

Partie IV - S´ erie g´ en´ eratrice

1. F _n ne s’annule pas et on a vu dans la partie II que lim

n→+∞

F

_n+1

F

n

= φ. Avec le crit` ere de d’Alembert le rayon de convergence de la s´ erie enti` ere est 1/φ.

2-a. Pour |x| < ¹ _φ , f (x) = F ₀ + F ₁ x + x ²

+∞

X

n=2

F _n x ⁿ⁻² = 1 + x + x ²

+∞

X

n=2

(F _n−2 + F _n−1 )x ⁿ⁻² = 1 + x + x ²

+∞

X

n=0

F _n x ⁿ + x

+∞

X

n=1

F _n x ⁿ

soit f (x) = 1 + x + x ² f(x) + x (f (x) − 1).

2-b. Avec ce qui pr´ ec` ede pour |x| < _φ ¹ , (1 − x ² − x)f (x) = 1 soit f (x) = − _x

2

+x−1 ¹ . 3. Les solutions de x ² + x − 1 = 0 sont −φ et −ψ, d’o` u

− 1

x ² + x − 1 = − 1

(x + φ)(x + ψ) = 1 φ − ψ

1

x + φ + 1 ψ − φ

1

x + ψ = 1

√ 5 1

x + φ − 1 x + ψ

.

En utilisant que φ = − _ψ ¹ , on obtient pour |x| < _φ ¹ ,

− 1

x ² + x − 1 = 1

√ 5

−ψ 1

1 − ψx + φ 1 1 − φx

= 1

√ 5 −ψ

+∞

X

n=0

(ψx) ⁿ + φ

+∞

X

n=0

(φx) ⁿ

!

les deux s´ eries ´ etant convergentes pour |x| < _φ ¹ .

Avec l’unicit´ e du d´ eveloppement en s´ erie enti` ere, nous obtenons que

∀n ∈ N F _n = 1

√ 5 (−ψ × (ψ) ⁿ + φ × (φ) ⁿ ) . Partie V - S´ erie g´ en´ eratrice exponentielle

1. Pour tout entier n, _(n+1)! ^F

ⁿ⁺¹

× _F ^n!

n

= _n+1 ^{1 F} _F

ⁿ⁺¹

n

et lim

n→+∞

1 n+1

F

_n+1

F

n

= 0 avec la partie II. Le rayon de convergence est infini.

2-a. Le rayon de convergence de la s´ erie enti` ere ´ etant infini, g est une fonction C ^∞ sur R et pour tout r´ eel x, g ⁰ (x) =

+∞

X

n=1

F n

(n − 1)! x ⁿ⁻¹ =

+∞

X

n=0

F n+1

n! x ⁿ et g ⁰⁰ (x) =

+∞

X

n=2

F n

(n − 2)! x ⁿ⁻² =

+∞

X

n=0

F n+2

n! x ⁿ .

D’o` u

g ⁰⁰ (x) − g ⁰ (x) − g(x) =

+∞

X

n=0

F n+2 − F n+1 − F n

n! x ⁿ = 0 et g(0) = F 0 = 1, g ⁰ (0) = F 1 = 1.

Le probl` eme de Cauchy a une unique solution qui est la fonction g.

2-b. L’´ equation caract´ eristique associ´ ee est r ² − r − 1 = 0, les solutions sont φ et ψ qui sont distinctes. Il existe a et b r´ eels tels que pour tout x, g(x) = ae ^φx + be ^ψx . Pour d´ eterminer a et b, on utilise que

g(0) = 1 = a + b et g ⁰ (0) = 1 = aφ + bψ.

Nous avons vu dans la partie I que la solution de ce syst` eme est (a, b) = ( ^{√ φ}

5 , − ^{√ ψ}

5 ), nous obtenons que pour tout r´ eel x

g(x) = 1

√ 5 (φe ^φx − ψe ^ψx ).

3. En d´ eveloppant en s´ erie enti` ere les fonction x 7→ e <sup>φx</sup> et x 7→ e <sup>ψx</sup> et en utilisant ` a nouveau l’unicit´ e du d´ eveloppement en s´ erie enti` ere

∀n ∈ N F n

n! = 1

√ 5

φ × φ ⁿ

n! − ψ × ψ ⁿ n!

.

Ce qui permet ` a nouveau d’avoir une expression de F _n en fonction de n.

Probl` eme 2 - Transform´ ee de Laplace

1. Soit r ≥ r 0 , f est par hypoth` ese continue sur R + , la fonction t 7→ |f (t)|e ^−rt est continue sur [0, +∞[ donc localement int´ egrable. De plus

∀t ∈ R + 0 ≤ |f (t)|e ^−rt ≤ |f(t)|e ^−r

⁰

^t e ^(r

⁰

^−r)t ≤ |f (t)|e ^−r

⁰

^t .

3

La fonction t 7→ |f (t)|e ^−r

⁰

^t est int´ egrable sur [0, +∞[ donc par comparaison entre fonctions positives, t 7→ |f (t)|e ^−rt est int´ egrable sur [0, +∞[ pour tout r ≥ r 0 .

2-a. f est continue sur R , ` a valeurs positives et

∀r 6= a Z T

0

e ^at e ^−rt dt = 1

a − r (e ^(a−r)T − 1) et Z T

0

e ^at e ^−at dt = T.

2-b. Avec 2-a, R T

0 e ^at e ^−rt dt admet une limite finie lorsque T tend vers +∞ si et seulement si a − r < 0, elle vaut alors _a−r ⁻¹ . D’o` u I f =]a, +∞[ et L(f )(r) = _r−a ¹ pour r dans I f .

3. g est continue sur R + comme produit de deux fonctions continues sur R + et t 7→ |g(t)|e ^−rt int´ egrable sur [0, +∞[

´

equivaut ` a t 7→ |h(t)|e <sup>−(r−a)t</sup> int´ egrable sur [0, +∞[, soit r ∈ I g ´ equivaut ` a r − a ∈ I h . g est dans F et I g = a + I h . De plus pour tout r dans I g , r − a est dans I h et

L(g)(r) = Z +∞

0

h(t)e ^at e ^−rt dt = Z +∞

0

h(t)e ^−(r−a)t dt = L(h)(r − a) 4. f n est continue sur R + donc localement int´ egrable, ` a valeurs positives et

∀r > 0 ∀n ∈ N lim

t→+∞ t ² f _n (t)e ^−rt = 0 ⇔ f _n (t)e ^−rt +∞

1 t ² .

Par comparaison entre fonctions positives, R +∞

1 1

t

²

dt converge donc R +∞

1 f _n (t)e ^−rt dt converge. On a ainsi que ]0, +∞[⊂ I f

_n

puis l’´ egalit´ e car R +∞

0 t ⁿ dt diverge pour tout entier n.

5. Prenons f d´ efinie sur [0, +∞[ par f (t) = 1 pour t dans [0, 1] et f (t) = _t ¹

₂

pour t dans ]1, +∞[.

f est continue sur [0, +∞[ et R +∞

1 f (t) dt converge donc [0, +∞[⊂ I f et pour r < 0 arbitraire lim

t→+∞ f (t)e ^−rt = +∞, l’int´ egrale diverge grossi` erement. D’o` u I _f = [0, +∞[.

6. La fonction t 7→ e ^−t

²

convient. Elle est continue sur R + donc localement int´ egrable, strictement positive. Pour tout r´ eel r, lim

t→+∞ t ² e ^−t

²

e ^−rt = 0 donc e ^−t

²

e ^−rt +∞ 1

t

²

et par comparaison entre fonctions positives, R +∞

1 e ^−t

²

e ^−rt dt converge pour tout r´ eel r.

7. A l’aide d’une int´ egration par parties, pour tout r de I _f et tout T > 0 Z T

0

f ⁰ (t)e ^−rt dt = (f (T)e ^−rT − f (0)) + r Z T

0

f (t)e ^−rt dt.

Par hypoth` eses lim

T→+∞ f (T )e ^−rT = 0 et lim

T →+∞

R T

0 f (t)e ^−rt dt existe car pour r dans I _f , l’int´ egrale R +∞

0 f (t)e ^−rt dt est absolument convergente donc convergente. D’o` u le r´ esultat en prenant la limite quand T tend vers +∞.

8-a. Pour tout entier naturel n, f _n+1 est C ¹ sur R + et pour tout tout r de I _f

_n+1

=]0, +∞[, lim

T →+∞ f _n+1 (T)e ^−rT = 0.

De plus f _n+1 ⁰ = (n + 1)f n et avec la question pr´ ec´ edente on a

L(f _n+1 ⁰ )(r) = −f n+1 (0) + rL(f n+1 )(r) ⇒ (n + 1)L(f n )(r) = rL(f n+1 )(r).

8-b. Avec 2. en prenant a = 0 on obtient que pour tout r de ]0, +∞[, L(f ₀ )(r) = ¹ _r . Notons (H _n ) l’assertion :

∀r ∈]0, +∞[ L(f n )(r) = _r

n+1

^n! . (H 0 ) est v´ erifi´ ee, montrons que pour tout entier naturel n, (H n ) implique (H n+1 ).

Avec 8-a. pour tout r > 0, L(f n+1 )(r) = ⁿ⁺¹ _r L(f n )(r) = ⁿ⁺¹ _{r r}

n+1

^n! avec (H n ), soit (H n+1 ). On a bien l’´ egalit´ e attendue pour tout entier naturel n.

9-a. On pose h(x, t) = f (t)e ^−xt pour (x, t) dans [r ₀ , +∞[×[0, +∞[.

Pour tout t de [0, +∞[, h(·, t) est continue sur [r 0 , +∞[.

Pour tout x de [r 0 , +∞[, h(x, ·) est continue sur [0, +∞[.

Pour tout (x, t) de [r 0 , +∞[×[0, +∞[, |h(x, t)| ≤ |f (t)|e ^−r

⁰

^t et la fonction t 7→ |f(t)|e ^−r

⁰

^t est bien continue et int´ egrable sur [0, +∞[ par hypoth` ese sur f .

Avec le th´ eor` eme de continuit´ e des int´ egrales ` a param` etre, L(f) est continue sur [r 0 , +∞[.

9-b. Avec la question pr´ ec´ edente, pour tout r de I f L(f ) est continue sur [r, +∞[ donc en particulier en r ; L(f ) est continue sur I f .

4