1. f est continue sur s 0, 8r .

DEVOIR MAISON n 7 Pour Vendredi 31 Janvier 2020

EXERCICE 1 : Calcul d’une int´ egrale

1. f est continue sur s 0, 8r .

f est prolongeable en 0 donc int´ egrable sur q 0, 1 s et f p t q

8 o p 1 { t ² q , donc f est int´ egrable sur r 1, 8r et finalement sur s 0, 8r .

Lorsque | x |   1, on a 1

1 x ¸ ⁸

n 0

x ⁿ ou encore 1

1 x ¸ ⁸

n 0

x ^{n 1} . On pose x e ^t Ps 0, 1 r pour t ¡ 0 et

» ₈

0

t

e ^t 1 dt

» ₈

0

te ^t 1 e ^t dt

» ₈

0

¸ 8 n 0

te ^{p n 1 q t} dt.

Consid´ erons la suite de fonctions p f n q n ¥ 0 d´ efinie par f n p t q te ^{p n 1 q t} . chaque f _n est continue et int´ egrable sur r 0, 8r car f _n p t q

8 o p 1 { t ² q .

la s´ erie de fonctions converge simplement sur s 0, 8r vers f qui est continue.

par changement de variable u p n 1 q t, on a (calcul de Γ p 2 q par IPP) :

» ₈

0

| f n p t q| dt 1 p n 1 q ²

» ₈

0

ue ^u du 1

p n 1 q ² Γ p 2 q 1 p n 1 q ² . La s´ erie ¸

n ¥ 0

1

p n 1 q ² converge donc la s´ erie ¸

n ¥ 0

» ₈

0

| f n p t q| dt converge.

Le Th´ eor` eme d’int´ egration terme ` a terme s’applique et :

» ₈

0

t

e ^t 1 dt ¸ ⁸

n 0

» ₈

0

f _n p t q dt ¸ ⁸

n 0

1

pn 1q ² π ² 6 .

EXERCICE 2 : S´ eries g´ en´ eratrices en probabilit´ e

2. Soit t Ps 1, 1 r , alors @ n P N , | p _n t ⁿ | ¤ p _n , or la s´ erie ¸

p _n converge de somme 1.

Donc la s´ erie ¸

p _n t ⁿ converge absolument donc convergente. Alors t P D _G

_X

, donc s 1, 1 r€ D _G

_X

. On a G _S p t q ¸ ⁸

n 0

t ⁿ P p X ₁ X ₂ n q par d´ efinition.

Mais par la formule des probabilit´ es totales puis par ind´ ependance de X 1 et X 2 on a : P p X ₁ X ₂ n q ¸

k ` n

P p X ₁ k X X ₂ ` q ¸

k ` n

P p X ₁ k q P p X ₂ ` q

¸ n k 0

P p X ₁ k q P p X ₂ n k q

alors : G S p t q ¸ ⁸

s0

¸

n m s

t ⁿ P p X 1 n q t ^m P p X 2 m q Les s´ eries enti` eres ¸

n¥0

t ⁿ P p X 1 n q et ¸

n¥0

t ⁿ P p X 2 n q ont un rayon de convergence au moins ´ egal ` a 1, par application du th´ eor` eme produit de Cauchy de deux s´ eries enti` eres, il en r´ esulte :

G _S p t q ₈

¸

n 0

t ⁿ P p X ₁ n q ¸ ⁸

n 0

t ⁿ P p X ₂ n q G _X

₁

p t q G _X

₂

p t q

.

Pour les 5/2 : Soit t Ps 1, 1 r , alors G _S p t q E p t ^X

¹

^X

²

q E p t ^X

¹

t ^X

²

q E p t ^X

¹

q E p t ^X

²

q car les variables X 1 et X 2 sont ind´ ependantes donc les variables t ^X

¹

et t ^X

²

sont ind´ ependantes aussi.

Donc G _S p t q G _X

₁

p t q G _X

₂

p t q .

Lyc´ ee de l’Essouriau - Les Ulis 1 PCSI - 2019-2020

DEVOIR MAISON n 7 Pour Vendredi 31 Janvier 2020

3. On peut ´ ecrire ici S _n X ₁ X ₂ .... X _n o` u chaque X <sub>i</sub> repr´ esente la variable al´ eatoire ´ egal au num´ ero tir´ ee pendant le i-` eme tirage. Ces variables sont ind´ ependantes car le tirage est avec remise, et les variables sont tous ` a valeurs dans t 0, 1, 2 u ,

Soit i P t 1, ..., n u et t Ps 1, 1 r , alors G _X

_i

p t q t ⁰ p ₀ t ¹ p ₁ t ² p ₂ On a p 0 ¹ ₄ , p 1 ² ₄ ¹ ₂ et p 2 ¹ ₄ , par application de ce qui pr´ ec` ede :

G _S

_n

p t q r G _X

₁

p t qs ⁿ 1

4 t 2

t ² 4

n

1

4 ⁿ p t 1 q ²ⁿ

¸ 2n k 0

1 4 ⁿ

2n k

t ^k .

Mais G _S

_n

p t q

¸ 2n k 0

P p S n k q t ^k et avec S n p Ω q t 0, 1, ..., p 2n qu . Alors @ k P t 0, 1, ..., 2n u , P p S _n k q ₄ ¹

n

2n k

ainsi la loi de S _n . Donc S n suit une loi binomiale de param` etres 2n et p ¹ ₂ . :

PROBL` EME ^: Etude d’une s´ ^´ erie de fonctions

4. Soit x Ps 1, 1 r . On a lim

n Ñ 8 x ⁿ 1, donc 1 x ⁿ

n Ñ 8 1. Alors @ n P N , ^| ₁ ^a

ⁿ

^x _x

ⁿn

^|

n Ñ 8 | a n x ⁿ | . Or le rayon de convergence de la s´ erie ¸

n ¥ 1

a _n x ⁿ est 1, donc la s´ erie ¸

a _n x ⁿ converge absolument et par comparaison, la s´ erie ¸

n ¥ 1

a _n x ⁿ

1 x ⁿ converge absolument.

Pour la remarque :

On prend a n _{p n} ¹ _{1 q}

2

, la s´ erie ¸

n ¥ 0

1 p n 1 q ²

2 ⁿ

1 2 ⁿ converge car _{p n} ¹ _{1 q}

2

2

ⁿ

1 2

ⁿ

n Ñ 8 1

n

²

et ¸ 1

n ² converge.

5. Soit x P r b, b s , alors @ n P N , 0   1 b ⁿ ¤ 1 x ⁿ , donc

@ n P N , | a _n x ⁿ |

1 x ⁿ ¤ | a _n b ⁿ | 1 b ⁿ , la s´ erie ¸ a _n b ⁿ

1 b ⁿ converge absolument par la question 4..

Donc la s´ erie de fonctions ¸ a n

x ⁿ

1 x ⁿ converge normalement donc uniform´ ement sur rb, bs.

6. Classe C ⁰ :

Soit f _n p x q a _n x ⁿ 1 x ⁿ .

Les f n sont continues sur s 1, 1r, La s´ erie ¸

f n converge uniform´ ement sur chaque segment rb, bs €s 1, 1r, Donc f est continue sur s 1, 1 r .

Classe C ¹ :

Chaque f _n est de classe C ¹ sur s 1, 1 r et @ x Ps 1, 1 r , f _n ¹ p x q a _n nx ^{n 1} p1 x ⁿ q ² .

Soit b P r 0, 1 r , alors par le mˆ eme raisonnement fait au 5. @ x P r b, b s ; | f _n ¹ p x q| ¤ ^{| na} _{p 1}

ⁿ

^| _b ^b

nⁿ

q

²¹

. Comme la s´ erie ¸ na _n b ⁿ¹

p 1 b ⁿ q ² converge car un ´ equivalent ` a ^na _{p 1}

ⁿ

^b _b

ⁿn

q

²¹

quand n Ñ 8 est na n b ^{n 1} et que le rayon de convergence de ¸

a n x ⁿ est ´ egal ` a celui de ¸

na n x ⁿ . Donc la s´ erie ¸

f _n ¹ converge normalement donc uniform´ ement sur tout segment r b, b s €s 1, 1 r et la s´ erie ¸

f n d´ ej` a converge simplement sur s 1, 1 r , alors f est de classe C ¹ sur s 1, 1 r et

@ x Ps 1, 1 r , f ¹ p x q ¸ ⁸

n 1

a _n nx ^{n 1}

p1 x ⁿ q ² et donc f ¹ p 0 q a ₁ .

Lyc´ ee de l’Essouriau - Les Ulis 2 PCSI - 2019-2020

DEVOIR MAISON n 7 Pour Vendredi 31 Janvier 2020

Partie II - Exemples

7. On a @ x Ps 1, 1 r , ln p 1 x q ¸ ⁸

n 1

p 1 q ⁿ x ⁿ n .

1 est dans l’adh´ erence de r 0, 1 r , pour tout n P N , lim

x Ñ 1

p 1 q ⁿ x ⁿ

n p 1 q ⁿ n , pour x P r 0, 1 r la s´ erie ¸

n ¥ 1

p 1 q ⁿ x ⁿ

n est une s´ erie altern´ ee qui v´ erifie lim

n Ñ 8

x ⁿ

n 0 et la suite ^x _n

ⁿ

n

est d´ ecroissante, alors par le crit` ere sp´ eciale des s´ eries altern´ ees :

@ n P N ,

¸ 8 k n 1

p 1 q ^k x ^k k

¤ x ^{n 1}

n 1 ¤ 1 n 1 , or lim

n Ñ 8

1

n 1 0,.

La convergence de la s´ erie de fonctions ¸

n ¥ 1

p 1 q ⁿ x ⁿ

n est uniforme, le th´ eor` eme de la double limite s’applique et on a

ln 2 ¸ ⁸

n 1

p 1 q ⁿ n .

8. Soit a Ps0, 1r. On a @x P ra, as, @n P N 0   1 a ⁿ ¤ 1 x ⁿ , donc :

@ x P r a, a s , @ k P N

p 1 q ^k x ^{k 1} 1 x ^k

¤ a ^{k 1} 1 a ^k . Or la s´ erie ¸

k¥1

a ^{k 1}

1 a ^k converge car ₁ ^a

^k1

_a

_k

k Ñ 8 a ^{k 1} et la s´ erie ¸

a ^{k 1} converge,.

La convergence de ¸

k ¥ 1

p 1 q ^k x ^{k 1}

1 x ^k est donc uniforme sur r a, a s . De plus lim

x Ñ 0 p1q ^k x ^{k 1} 1 x ^k

"

1 si k 1

0 si k 1 le th´ eor` eme de la double limite s’applique et on a :

x lim Ñ 0

f pxq x lim

x Ñ 0

¸ 8 n 1

p1q ⁿ x ^{n 1}

1 x ⁿ 1 Un ´ equivalent de f p x q quand x Ñ 0 est x.

On a fp0q 0, donc ^fpxq _x ^fpxqf _{x 0} ^p0q , alors f ¹ p0q 1 a 1 c’est ce qu’on a trouv´ e ` a la question 6. . 9. Toujours a n p 1 q ⁿ et f p x q ¸ ⁸

n 1

p 1 q ⁿ x ^{n 1} 1 x ⁿ donc p 1 x q f p x q ¸ ⁸

n 1

p 1 q ⁿ x ^{n 1} p1 xq 1 x ⁿ ¸ ⁸

n 1

p 1 q ⁿ x ^{n 1}

1 x x ² ... x ^{n 1} . Soit @ n P N ; g _n p x q p 1 q ⁿ x ^{n 1}

1 x x ² ... x ^{n 1} et x 1 est dans l’adh´ erence de r 0, 1 r ,

@ n P N , lim

x Ñ 1

g _n p x q p 1 q ⁿ n , Soient x P r 0, 1 r et k P rr 0, p n 1 qss , on a x ^{n 1} ¤ x ^k donc :

nx ^{n 1} ¤ 1 x x ² ... x ^{n 1} ,

Lyc´ ee de l’Essouriau - Les Ulis 3 PCSI - 2019-2020

DEVOIR MAISON n 7 Pour Vendredi 31 Janvier 2020

alors

@ x Ps 0, 1 r ; @ n P N ; | g _n p x q| ¤ x ^{n 1} nx ^{n 1} ¤ 1

n . Soit x Ps 0, 1 r , les deux suites p x ⁿ¹ q n PN

et

1

1 x x

²

... x

ⁿ¹

n PN

sont d´ ecroissantes et elles sont positives, donc la suite p|g n pxq|q n PN

est d´ ecroissante comme elle est positive et tend vers 0, le crit` ere sp´ eciale des s´ eries altern´ ees s’applique et on a :

@n P N;

¸ 8 k n 1

g k pxq

¤ |g n 1 pxq| ¤ 1

n 1 ÝÑ

n Ñ 8 0.

Alors la s´ erie de fonctions ¸

n ¥ 1

g n converge uniform´ ement sur s 0, 1 r , le th´ eor` eme de la double limite s’applique et on a :

lim

x Ñ 1

p 1 x q f p x q ¸ ⁸

n 1

lim

x Ñ 1

g n p x q ¸ ⁸

n 1

p 1 q ⁿ

n ln 2

d’apr` es la question 7. . Alors p 1 x q f p x q

x Ñ 1

ln 2, qui s’´ ecrit f p x q

x Ñ 1

ln 2 p 1 x q .

Lyc´ ee de l’Essouriau - Les Ulis 4 PCSI - 2019-2020