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Soit f une fonction continue, strictement croissante et born´ ee sur R . Soit u 0 un r´ eel donn´ e. On pose, pour n ∈ N , u n+1 = f (u n ).

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

IUP SID Analyse 2011-2012

Examen du 9 D´ecembre 2011 de 15h45 ` a 17h45

Aucun document n’est autoris´ e. Les calculatrices sont autoris´ ees.

1 Autour des suites

Soit f une fonction continue, strictement croissante et born´ ee sur R . Soit u 0 un r´ eel donn´ e. On pose, pour n ∈ N , u n+1 = f (u n ).

1. Montrer que la suite (u n ) est born´ ee.

2. Montrer que pour tout n ∈ N le signe de (u n+2 − u n+1 ) est le mˆ eme que celui de (u n+1 − u n ).

3. D´ eduire de la question pr´ ec´ edente que la suite (u n ) est monotone et qu’elle converge vers une limite not´ ee l.

4. Expliquer pourquoi on a l = f(l).

5. On consid` ere la suite d´ efinie par u 0 = 0 et pour n ∈ N ,

u n+1 = 1

1 + e −u

n

− 5.

Montrer que la suite (u n ) est convergente. Calculer une valeur approch´ ee de sa limite.

2 Int´ egration

Calculer les int´ egrales suivantes 1.

Z 1

0

xdx x 2 + 3x + 2 ,

Z 0

−∞

e x dx e 2x + 3e x + 2 , 2.

Z

√ 3−3

−3

xdx x 2 + 6x + 12 , 3.

Z +∞

0

[x sin(2x) − cos 2 (x)] exp

−x cos 2 (x)

dx. On rappelle que, pour θ ∈ R , on a sin(2θ) = 2 cos θ sin θ.

3 S´ eries

1. Soit a > 0. Pour quelles valeurs de a la s´ erie de terme g´ en´ eral u n d´ efini ci-dessous est-elle convergente ?

(a) u n = a 12n , (n ∈ N ), (b) u n = (1+n) n

2a−12

, (n ∈ N ),

(c) u n = a 2n C 2n n .

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