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On définit l’opérateur U :C∞(R)→u∗f

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Academic year: 2022

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TD du cours d’Analyse III, 2e partie 3ème BM

31 Mars et 1er Avril 2010

1. Soit uune distribution dans Rn et soientf,g deux fonctions de C∞(Rn). Démontrer que si [u], [g]sont composables, alors [f u] et [g]sont composables.

2. Soit u une distribution à support compact dans R. On définit l’opérateur

U :C∞(R)→u∗f.

(a) Montrer que cet opérateur est bien défini.

(b) Calculer U(fp) pour tout complexe p, avec fp(x) =epx, x∈R. 3. Soit

f(x) =

2xex six≤0

xex six >0

Siudésigne la distribution associée àf et si P est l’opérateur de dérivationP(D) = D2−2D+ 1, calculer la distribution

P(u∗δ1).

4. (a) Les applications suivantes définissent-elles des distributions tempérées dansR?

D2δ0, uf1, uf2, uf3, uf4 oùf1(x) = e−x2, f2(x) = ln(x), f3(x) = |x|1 ,f4(x) =|x|.

(b) Si possible, déterminer les transformées de Fourier des distributionsD2δ0 etuf1.

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☞ remarque : de façon générale, la dérivée d'un vecteur unitaire par rapport à un angle de rotation est le produit vectoriel du vecteur unitaire de l'axe de

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Selon les conditions locales, les effets de résonance sont aussi renforcés aux équinoxes (périodicité 182,6 jours) et aux “équilunes” (périodicité 9,3 ans) : lorsque

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