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U U U U R BC AB CD AD 1 U AD R R R R R + + R R + + R R 1 1 2 1 3 2 2 3 3 ! ! ! ! !

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

1. Association en série

• Dans la mesure où le courant est le même dans tout l'assemblage, l'addition des tensions ne dépend pas de l'ordre des composants du modèle.

◊ remarque : les notations de Thévenin sont plus pratiques dans ce cas.

• Quel que soit le courant I, les f.e.m. s'ajoutent (par définition).

Par ailleurs, les résistances en série s'ajoutent : R = R1 + R2 + R3.

UAD = UAB + UBC + UCD = R1 I + R2 I + R3 I = (R1 + R2 + R3) I.

2. Principe du pont diviseur de tension

• Dans une association de résistances en série (donc parcourues par un même courant), la tension est proportionnelle à la résistance.

I =

!

UAB R1 =

!

UBC R2 =

!

UCD R3 =

!

UAD

R1+R2+R3 .

Ceci permet de calculer simplement l'une quelconque des tensions à partir de la tension appliquée à l'ensemble ; par exemple : UAB =

!

R1

R1+R2+R3 UAD.

(2)

3. Loi de Pouillet

• Pour un circuit simple en série :

!

(±Ei "Ri I)

#

= 0 (d'après la loi des mailles), d'où la loi de Pouillet : I =

!

(±Ei)

"

Ri

"

.

◊ remarque : la somme algébrique des Ei doit tenir compte de leur convention d'orientation par rapport au sens choisi comme positif ; par exemple, dans le cas ci-contre :

I =

!

E1+E2 "E3 R1+R2 +R3 .

4. Association en parallèle

• Dans la mesure où la tension est la même aux bornes de toutes les branches de l'assemblage, l'addition des courants ne dépend pas de l'ordre des compo- sants du modèle.

◊ remarque : les notations de Norton sont plus pratiques dans ce cas.

(3)

s'ajoutent : G = G1 + G2 + G3. I = I1 + I2 + I3

I = G1 UAB + G2 UAB + G3 UAB I = (G1 + G2 + G3) UAB.

5. Principe du pont diviseur de courant

• Dans une association de résistances en parallèle (donc soumises à une même tension), le courant est proportionnel à la conductance.

UAB =

!

I1 G1 =

!

I2 G2 =

!

I3 G3 =

!

I

G1+G2+G3 .

Ceci permet de calculer l'un quelconque des courants à partir du courant circulant dans l'ensemble ; ainsi : I1 =

!

G1

G1+G2 +G3 I =

!

R2R3

R1R2 +R2R3+R3R1I.

6. Loi de Millmann

6.1. formulation “basique”

• Pour un circuit simple en parallèle :

!

(± Ici"Gi UAB)

#

= 0 (d'après la loi des nœuds), avec : ± Ici =

!

± Ei

Ri ; d'où la loi de Millmann :

UAB =

!

(± Ici)

"

Gi

"

=

!

± Ei Ri

"

#$ %

&

(

' 1 Ri

"

#$ %

&

(

'

.

(4)

◊ remarque : la somme algébrique des Ei (ou Ici) doit tenir compte de leur orientation ; par exemple, dans le cas ci-contre :

UAB =

!

Ic1+G2E2 "Ic3 G1+G2 +G3 .

◊ remarque : si l'une des branches corres- pond à courant fixé (par exemple : généra- teur de Norton idéal Ic1 non associé à une résistance R1), la relation s'applique en simplifiant simplement (G1 = 0) :

UAB =

!

Ic1+G2E2 "Ic3 G2 +G3 .

6.2. Généralisation de la loi de Millmann

• Dans certains circuits, pour lesquels les branches en parallèle n'apparaissent pas de façon évidente, l'utilisation de la loi de Millmann peut être facilitée en utilisant comme variables les potentiels.

• On peut ainsi étudier le circuit suivant, en utilisant comme variables les potentiels de nœuds (avec VM = 0 pour la masse du circuit) :

(5)

2 e2 M s s M

du montage.

◊ remarque : l'amplificateur opérationnel (AO) en fonctionnement linéaire est caractérisé par :

◊ des courants nuls dans les entrées e+ et e- ;

◊ une tension nulle entre ces entrées (Ve

+ = Ve

-).

• Compte tenu du fait que la loi de Millmann découle de la loi des nœuds, et qu'il ne circule aucun courant dans les entrées de l'AO, on peut raisonner sur le circuit équivalent (du point de vue des courants).

La loi de Millmann donne : VA =

!

Ve1

R +Ve2 R + Vs

R 1

R + 1 R + 1

R .

• Mais par ailleurs, pour les tensions : VA = Ve

- = Ve

+ = 0 ; par conséquent : Vs = - (Ve1 + Ve2) (le montage est dit “sommateur inverseur”).

• Afin de tirer profit plus facilement de la loi de Millmann dans les cas où les schémas équivalents sont moins évidents, on peut alors remarquer que la relation précédente peut s'écrire sous la forme :

VA =

!

Vi Ri

"

#$ %

&

(

' 1 Ri

"

#$

%

&

(

'

.

& exercices n° I, II et III.

Références

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