() # # Sx 4x 12 & & yx xx () " S 1r. " " fr " r r " r " S # # # & & & ' ru " r u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u " " " OM " " " " r r r fr x + y y y y y x x x x % % ( ( % % % & ( ( ( ) $ ' " x " " " r x r "#$ " y " r y $ $ $ % ' ' ' ( + + y y y $ '

1

GRADIENT - corrigé des exercices

I. Dépendance “radiale”

1.a.

• La fonction ne dépendant que de r, le gradient se limite à une dérivée radiale ; la relation indiquée dans l'énoncé correspond donc simplement à la propriété d'une dérivée composée.

1.b.

• En coordonnées polaires

!

"r =

!

"r

"r

#

$% &

'(

)

!

u_r +

!

1 r. "r

"#

$

%& ' ()

r

!

u_" =

!

u_r.

◊ remarque : on retrouve que

!

"f r

( )

⁼

!

"f r

( )

"r

!

u_r.

2.a.

• En coordonnées polaires on obtient : r =

!

x²+y².

2.b.

• En coordonnées cartésiennes :

!

"r =

!

"r

"x

#

$% &

'(

y

!

u_x +

!

"r

"y

#

$% &

'(

x

!

u_y =

!

x x²+y²

!

u_x +

!

y x²+y²

!

u_y.

• Mais x

!

u_x + y

!

u_y =

!

OM = r

!

u_r donc

!

"r =

!

ru_r r ⁼

!

u_r.

II. Comparaison du gradient pour différents systèmes de coordonnées 1.a.

• En coordonnées cartésiennes :

!

"S(x, y) =

!

"S

"x

#

$% &

'(

y

!

u_x +

!

"S

"y

#

$%

&

'(

x

!

u_y = y

!

u_x + x

!

u_y.

1.b.

• Pour les cas particuliers envisagés :

!

"S(2 ; 2) = 2

!

u_x + 2

!

u_y ;

!

"S(1 ; 4) = 4

!

u_x +

!

u_y.

1.c.

• La courbe d'équation S = xy = 4 correspond à une hyperbole (y =

!

S x ⁼

!

4 x^).

1.d.

• On constate effectivement la propriété indiquée en ce qui concerne la direction du gradient.

◊ remarque : on peut préciser, d'après le graphique, qu'une augmentation dy fait d'autant moins varier S que x est petit (et de même une augmentation dx fait d'autant plus varier S que y est grand).

◊ remarque : en traçant plusieurs courbes “iso-surfaciques”, on peut aussi préciser que la “mesure algébrique” du gradient est d'autant plus grande que ces courbes sont plus rapprochées entre elles.

2.a.

• En coordonnées polaires on obtient : x = r cos(θ) ; y = r sin(θ) ; S =

!

1 2^r

2 sin(2θ).

2

2.b.

• En coordonnées polaires :

!

"S(r, θ) =

!

"S

"r

#

$% &

'(

)

!

u_r +

!

1 r."S

"#

$

%& ' ()

r

!

u_" = r sin(2θ)

!

u_r + r cos(2θ)

!

u_".

2.c.

• On obtient en coordonnées polaires :

!

"S

!

2. 2 ;"

4

#

$% &

'( ⁼

!

2. 2

!

u_r

!

"

4

#

$% &

'( ^{= 2}

!

u_x + 2

!

u_y.

III. Comparaison du gradient pour différents systèmes de coordonnées 1.a.

• La surface du secteur angulaires est : S = πr²

!

"

2# ⁼

!

r²"

2 ^.

1.b.

• On en déduit :

!

"S = rθ

!

u_r +

!

r 2

!

u_".

1.c.

• On obtient :

!

"S

!

2. 3 ;"

3

#

$% &

'( ⁼

!

2"

3

!

u_r

!

"

3

#

$% &

'( ⁺

!

3

!

u_"

!

"

3

#

$% &

'(^.

◊ remarque : en coordonnées cartésiennes, ceci s'écrit :

!

"S

!

(

3; 3

)

⁼

!

"

3#3 2

$

%& '

()

!

u_x +

!

"+ 3 2

#

$

%%

&

' ((

!

u_y.

• On obtient :

!

"S

!

4;"

4

#

$% &

'( ^{= π}

!

u_r

!

"

4

#

$% &

'( ^{+ 2}

!

u_"

!

"

4

#

$% &

'(^.

1.d.

• La courbe d'équation S =

!

r²"

2 = 2π correspond à une spirale (r =

!

2S

" ⁼

!

4"

# ) représentée ci- dessus.

1.e.

• On peut vérifier graphiquement ci-dessus, pour les deux cas envisagés précédemment, que le gra- dient est orthogonal à la courbe iso-surfacique.

2.

• À suivre...

IV. Coordonnées polaires

1.

• La projection de l'expression cartésienne sur la base orthonormée (

!

u_r,

!

u_") peut s'écrire :

!

"U =

!

"U

"x

#

$% &

'(

y

u_x+ "U

"y

#

$% &

'(

x

u_y )

* ++

, - ..^•

!

u_r

!

u_r +

!

"U

"x

#

$% &

'(

y

u_x+ "U

"y

#

$% &

'(

x

u_y )

* ++

, - ..^•

!

u_"

!

u_" ;

!

"U =

!

"U

"x

#

$% &

'(

y

cos

( )

) ^+#"U_"y

$% &

'(

x

sin

( )

)

* + ,,

- . //

!

u_r +

!

" #U

#x

$

%& ' ()

y

sin

( )

* ^+$#U_#y

%& ' ()

x

cos

( )

* +

, --

. / 00

!

u_".

3

2.

• En considérant :

!

"U

"r

#

$% &

'(

)

=

!

"U

"x

#

$% &

'(

y

!

"x

"r

#

$% &

'(

) +

!

"U

"y

#

$% &

'(

x

!

"y

"r

#

$% &

'(

)

avec x = r cos(θ) et y = r sin(θ), on obtient :

!

"U

"r

#

$% &

'(

)

=

!

"U

"x

#

$% &

'(

y

cos

( )

) ^{+ "U}

"y

#

$% &

'(

x

sin

( )

)

* + ,,

- . //^.

• De même :

!

"U

"#

$

%& ' ()

r

=

!

"U

"x

#

$% &

'(

y

!

"x

"#

$

%& ' ()

r +

!

"U

"y

#

$% &

'(

x

!

"y

"#

$

%& ' ()

r = r .

!

" #U

#x

$

%& ' ()

y

sin

( )

* ^+$#U_#y

%&

' ()

x

cos

( )

* +

, --

. / 00^.

• Finalement :

!

"U =

!

"U

"r

#

$%

&

'(

)

!

u_r +

!

1 r

!

"U

"#

$

%&

' ()

r

!

u_".

V. Dérivée dans la direction d'un vecteur

• Pour des coordonnées polaires dans le plan, la longueur de l'arc de cercle associé à un déplacement angulaire dθ (pour r fixé) est ds = r dθ ; ainsi :

!

"V

"s =

!

dV r d"

#

$% &

'(

r

. =

!

1 r

"V

"#

$

%& ' ()

r

.

• Puisque

!

"V

"s =

!

u_"•#

( ) ^{( )}

^{V = (}

!

"V)•

!

u_", cela montre inversement que la coordonnée orthoradiale du

gradient est

!

1 r

"V

"#.

VI. Comparaison du gradient pour différents systèmes de coordonnées 1.

• On peut considérer : y(x) = 2 - 3x ; S(x) = S(x, y(x)) = x.(2 - 3x).

• Le maximum correspond à :

!

dS x

( )

dx = 2 - 6x = 0 donc x =

!

1

3 et y(x) = 1 ; ainsi S(x, y) =

!

1 3.

◊ remarque : il est ici aisé de vérifier que l'extremum est un maximum à l'aide du signe de

!

d²S x

( )

dx^{2 < 0.}

2.

• On peut considérer : g(x, y) = 3x + y - 2 ; Σ(x, y) = S + λ g = xy + λ.(3x + y - 2).

• Le maximum correspond à :

!

"#

(

x,y

)

"x = y + 3λ = 0 et

!

"#

(

x,y

)

"y = x + λ = 0.

• Puisqu'on impose g(x, y) = 3x + y - 2 = 0, on obtient donc : x = -λ ; y = -3λ ; -6λ - 2 = 0.

• Ainsi : λ = -

!

1 3 ; x =

!

1

3 ; y = 1 ; S(x, y) =

!

1 3.

◊ remarque : il n'est ici pas évident que l'extremum trouvé est un maximum.