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Academic year: 2022

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1

AC. III - COORDONNÉES CYLINDRIQUES ET SPHÉRIQUES

1. Coordonnées cylindriques 1.1. Description générale

• Pour définir des coordonnées cylindriques, on choisit un “axe cylindrique”, par exemple (Oz), puis on repère le point H projeté orthogonal de M sur le plan passant par O et orthogonal à (Oz). Dans ce plan, on repère H par ses coordonnées polaires, ce qui repère M par ses coordonnées (r, θ, z).

• Les vecteurs sont alors exprimés selon la base (

!

ur,

!

u",

!

uz ) dépendant du point M.

Ces vecteurs unitaires sont définis de façon “standard” : selon la direction et le sens des déplace- ments de M résultant des augmen- tations respectives de r, θ et z.

!

ur =

!

ur(θ) = cos(θ)

!

ux + sin(θ)

!

uy

!

u" =

!

u"(θ) = -sin(θ)

!

ux + cos(θ)

!

uy On constate alors que :

!

dur d" =

!

u" ;

!

du"

d" = -

!

ur

◊ remarque : contrairement au cas des coordonnées sphériques, le vecteur

!

ur est ici parallèle à

!

OH.

• Avec ces notations :

!

OM = r

!

ur + z

!

uz

!

v =

!

OM• = r•

!

ur + r

!

ur• + z•

!

uz = r•

!

ur + r θ•

!

u" + z•

!

uz

!

a =

!

v• = (r•• - rθ•2)

!

ur + (2r•θ• + rθ••)

!

u" + z••

!

uz

(2)

2

◊ remarque : on constate entre autres que (contrairement aux repères carté- siens) les coordonnées de

!

OM sont différentes des coordonnées de M ; en particulier,

!

OM peut sembler ne dépendre que des deux coordonnées r et z, mais il dépend de θ par la direction de

!

ur (il faut trois coordonnées).

◊ remarque : il sʼagit de

!

v et

!

a par rapport à (O,

!

ux ,

!

uy ,

!

uz ), réexprimés sur la base (

!

ur,

!

u",

!

uz ) (sinon il nʼy aurait pas les termes de rotation en θ• et θ••).

1.2. Mouvement hélicoïdal

• On considère le mouvement hélicoïdal dʼun point M sur un cylindre de rayon r :

!

OM = r

!

ur + z

!

uz

avec : z(t) = h θ(t) où h est une cons- tante (le “pas” de l'hélice est 2πh).

Dʼaprès la symétrie, le plus simple est dʼutiliser des coordonnées cylindriques.

• La vitesse est alors :

!

v = rθ•

!

u" + z•

!

uz = rθ•

!

u" + hθ•

!

uz, dʼoù :

!

v = ρθ• avec : ρ =

!

r2 +h2 > r.

Dʼune façon analogue :

!

a = rθ••

!

u" - rθ•2

!

ur + hθ••

!

uz .

◊ remarque : la vitesse

!

v fait un angle α constant avec lʼaxe cylindrique (vec- teur

!

uz ) car : cos(α) =

!

v v•

!

uz =

!

h

" signe(θ

•).

& exercice n° I.

(3)

3

2. Coordonnées sphériques

• Pour définir des coordonnées sphériques, on choisit un “axe des pôles”, par exemple (Oz), puis on repère un “plan méridien” défini par (Oz) et le point M.

Dans ce plan, on repère M par ses coordonnées polaires. Enfin, on choisit un plan contenant (Oz) comme référence des rotations autour de (Oz) ; ceci permet de repérer le plan méridien précédent par un angle ϕ, ce qui repère M par ses coordonnées (r, θ, ϕ).

• Les vecteurs sont alors exprimés selon la base (

!

ur,

!

u",

!

u") dépendant du

point M. Ces vecteurs unitaires sont définis de façon standard.

!

ur =

!

ur(θ, ϕ) = sin(θ) [cos(ϕ)

!

ux + sin(ϕ)

!

uy] + cos(θ)

!

uz

!

u" = cos(θ) [cos(ϕ)

!

ux + sin(ϕ)

!

uy] - sin(θ)

!

uz

!

u" = - sin(ϕ)

!

ux + cos(ϕ)

!

uy

◊ remarque : ici r et θ (et de même

!

ur et

!

u") nʼont pas la même signification

qu'en coordonnées cylindriques ; en particulier le θ est limité à [0, π] et le vecteur

!

ur est parallèle à

!

OM.

(4)

4

• On constate alors que :

!

"ur

"# =

!

u" et

!

"u#

"# = -

!

ur ;

!

"ur

"# = sin(θ)

!

u" et

!

"u#

"# =

!

uz

"

u# = - cos(ϕ)

!

ux - sin(ϕ)

!

uy = - sin(θ)

!

ur - cos(θ)

!

u".

☞

remarque : de façon générale, la dérivée d'un vecteur unitaire par rapport à un angle de rotation est le produit vectoriel du vecteur unitaire de l'axe de rotation par le vecteur unitaire qu'on dérive.

• On obtient ainsi :

!

OM = r

!

ur et

!

v = r•

!

ur + r

!

ur• = r•

!

ur + rθ•

!

u" + r sin(θ)ϕ•

!

u"

◊ remarque : on constate ici encore que les coordonnées de

!

OM sont diffé- rentes des coordonnées de M ; en particulier,

!

OM peut sembler ne dépendre que de la coordonnée r, mais il dépend de θ et ϕ par lʼintermédiaire de la direction de

!

ur (il faut trois coordonnées).

◊ remarque : lʼexpression générale de lʼaccélération est ici plus compliquée, or elle est en pratique moins utilisée à ce niveau.

& exercices n° II et III.

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