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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

CHANGEMENT DE RÉFÉRENTIEL - corrigé des exercices

A. EXERCICES DE BASE I. Référentiel en rotation

1.a.

• Dʼaprès la symétrie du problème, on choisit les origines O et Oʼ confondues au centre. On peut ensuite calculer dans le plan, en coordonnées cartésiennes ou polaires.

• Par rapport à

R

ʼ, un mouvement rectiligne uniforme suivant Oxʼ peut être décrit par les équations paramétriques en coordonnées cartésiennes : xʼ = vʼ t et yʼ = 0 ou polaires : rʼ = vʼ t et θʼ = 0.

• En éliminant le temps entre ces deux équations, on obtient lʼéquation cartésienne de la trajectoire : yʼ = 0 ou lʼéquation polaire : θʼ = 0.

1.b.

• Pour exprimer ce mouvement par rapport à

R

, on peut écrire en coordonnées cartésiennes :

!

OM = xʼ

!

"

u x + yʼ

!

"

u y = x

!

ux + y

!

uy ;

!

"

u x = cos(θ)

!

ux + sin(θ)

!

uy et

!

"

u y = -sin(θ)

!

ux + cos(θ)

!

uy (avec θ = ωt) ; x = xʼ cos(θ) - yʼ sin(θ) et y = xʼ sin(θ) + yʼ cos(θ).

• On en déduit alors les équations paramétriques cartésiennes : x = vʼ t cos(ωt) et y = vʼ t sin(ωt) (ce qui peut se deviner car cʼest un cas simple). Lʼéquation correspondante de la trajectoire est par contre im- possible à trouver ainsi car on ne sait pas expliciter t à lʼaide de ces équations...

• Si on utilise les coordonnées polaires, la transformation peut se traduire simplement sans forcément expliciter le lien complet entre la base (

!

ur,

!

u") et la base (

!

"

u r,

!

"

u #), car cette transformation ne porte ici que sur des vecteurs dʼorigine O (ou Oʼ) pour lesquels il nʼy a quʼune composante radiale (par contre il faut relier θ et θʼ, mais cʼest plus facile que pour les vecteurs de base

!

u" et

!

"

u #. On obtient ainsi : r = rʼ et θ = θʼ + ωt, dʼoù on déduit les équations paramétriques polaires : r = vʼ t et θ = ωt.

• Lʼéquation correspondante de la trajectoire est dans ce cas : r =

!

"

v #

$ (cʼest une spirale).

2.a.

• On peut calculer les coordonnées cartésiennes du vecteur vitesse en dérivant les équations paramé- triques cartésiennes :

vx = x = vʼ cos(ωt) - ωvʼ t sin(ωt) vy = y = vʼ sin(ωt) + ωvʼ t cos(ωt)

◊ remarque : ceci correspond à la norme : v = vʼ

!

1+ "2t2.

• On peut aussi calculer les coordonnées polaires du vecteur vitesse à partir des équations paramé- triques polaires, mais il ne suffit pas de dériver les coordonnées car les vecteurs de base polaires varient :

!

OM = r

!

ur et

!

v = r

!

ur + r

!

ur = r

!

ur + rθ

!

u" = vʼ

!

ur + rω

!

u" mais r = vʼ t donc :

!

v = vʼ

!

ur + ω vʼ t

!

u"

cʼest-à-dire : vr = r = vʼ et vθ = rθ = ωvʼ t.

◊ remarque : étant donné que M reste sur lʼaxe Oʼxʼ, il se trouve (cas particulier) que

!

ur et

!

u" sont

respectivement égaux à

!

"

u x et

!

"

u y.

2.b.

• On peut calculer les coordonnées cartésiennes de la vitesse par composition des mouvements ; par rapport à

R

:

!

OM =

!

OO + "

!

"

O M =

!

OO + xʼ "

!

"

u x + yʼ

!

"

u y

!

v = [

!

OO "+ xʼ

!

"

u x + yʼ

!

"

u y] + [xʼ

!

"

u x + yʼ

!

"

u y].

• Ceci peut sʼécrire :

!

v =

!

ve +

!

"

v où

!

"

v = xʼ

!

"

u x + yʼ

!

"

u y est la vitesse par rapport à

R

ʼ (“relative”), et où

!

ve =

!

OO "+ xʼ

!

"

u x + yʼ

!

"

u y =

!

OO " +

!

"⨯

!

"

O M est appelée “vitesse dʼentraînement”.

(2)

• Les coordonnées cartésiennes de la vitesse par rapport à

R

ʼ sont : vʼ = vʼ et vʼ = 0 ; les coor- données de la vitesse dʼentraînement sur la base (

!

"

u x,

!

"

u y) sont : vexʼ = -θyʼ = 0 et veyʼ = θxʼ = ωvʼ t ; les coordonnées cartésiennes de la vitesse par rapport à

R

, exprimées sur la base (

!

"

u x,

!

"

u y) associée à

R

ʼ, sont

donc : v = vʼ + vexʼ = vʼ et v = vʼ + veyʼ = ωvʼ t.

◊ remarque : étant donné que M reste sur lʼaxe Oʼxʼ, il se trouve (cas particulier) que

!

"

u x et

!

"

u y sont respectivement égaux à

!

ur et

!

u".

• Finalement, le changement de base cartésien :

!

"

u x = cos(θ)

!

ux + sin(θ)

!

uy et

!

"

u y = -sin(θ)

!

ux + cos(θ)

!

uy donne (de même que pour le passage de {xʼ, yʼ} à {x, y} ) :

vx = v cos(θ) - v sin(θ) et vy = v sin(θ) + v cos(θ)

dʼoù on retrouve : vx = vʼ cos(ωt) - ωvʼ t sin(ωt) et vy = vʼ sin(ωt) + ωvʼ t cos(ωt).

• On peut calculer les coordonnées polaires du vecteur vitesse par composition des mouvements, mais le calcul général est compliqué. En simplifiant dans le cas où Oʼ est confondu avec O, et où les bases (

!

ur,

!

u") et (

!

"

u r,

!

"

u #) sont donc identiques :

!

OM = r

!

ur et

!

v = r

!

ur + r

!

ur = r

!

ur + rθ

!

u" peut s'interpré-

ter avec une vitesse par rapport à

R

ʼ :

!

"

v = r

!

ur = vʼ

!

ur et une vitesse dʼentraînement :

!

ve = rθ

!

u". On

retrouve alors : vr = r = vʼ et vθ = rθ = ωvʼ t.

◊ remarque : ceci montre que lʼopportunité du choix des coordonnées cartésiennes ou polaires dépend non seulement du système étudié, mais aussi de la question traitée : le mieux est de passer des unes aux autres en fonction des besoins.

3.a.

• On peut calculer les coordonnées cartésiennes du vecteur accélération en dérivant les équations paramétriques cartésiennes :

ax = x•• = -2ωvʼ sin(ωt) - ω2vʼ t cos(ωt) ay = y•• = 2ωvʼ cos(ωt) - ω2vʼ t sin(ωt)

◊ remarque : ceci correspond à la norme : a = ωvʼ

!

4+ "2t2.

• On peut aussi calculer les coordonnées polaires du vecteur accélération à partir des équations paramétriques polaires, mais il ne sʼagit pas dʼune simple dérivation des coordonnées car les vecteurs de base polaires varient lors du mouvement :

!

v = r

!

ur + rθ

!

u" dʼoù :

!

a = r••

!

ur + r

!

ur + rθ

!

u" + rθ••

!

u" + rθ

!

u" = (r•• - rθ•2)

!

ur + (2rθ + rθ••)

!

u" = -rω2

!

ur + 2vʼω

!

u"

mais r = vʼ t dʼoù :

!

a = -vʼ tω2

!

ur + 2vʼω

!

u" et donc : ar = r••-rθ•2 = -vʼ tω2 et aθ = 2rθ + rθ•• = 2vʼω.

3.b.

• On peut calculer les coordonnées cartésiennes du vecteur accélération en utilisant la composition des mouvements :

par rapport à

R

:

!

v = [

!

OO "+ xʼ

!

"

u x + yʼ

!

"

u y] + [xʼ

!

"

u x + yʼ

!

"

u y]

!

a =

!

v = [

!

OO "••+ xʼ

!

"

u x•• + yʼ

!

"

u y••] + [xʼ••

!

"

u x + yʼ••

!

"

u y] + 2 [xʼ

!

"

u x + yʼ

!

"

u y]

ceci peut sʼécrire :

!

a =

!

ae +

!

ac +

!

"

a avec :

!

"

a = xʼ••

!

"

u x + yʼ••

!

"

u y accélération par rapport à

R

ʼ ;

!

ae =

!

OO "••+ xʼ

!

"

u x•• + yʼ

!

"

u y•• =

!

OO "•• +

!

"⨯(

!

"⨯

!

"

O M) accélération dʼentraînement ;

!

ac = 2 [xʼ

!

"

u x + yʼ

!

"

u y] = 2

!

"⨯

!

"

v accélération “complémentaire”.

• Sur la base (

!

"

u x,

!

"

u y), les coordonnées cartésiennes sont : aʼ = 0 et aʼ = 0 pour lʼaccélération par rapport à

R

ʼ ;

aexʼ = -θ•2xʼ = -ω2vʼ t et aeyʼ = -θ•2yʼ = 0 pour lʼaccélération dʼentraînement ; acxʼ = -2θ = 0 et acyʼ = 2θ = 2ωvʼ pour lʼaccélération complémentaire ; les coordonnées cartésiennes de lʼaccélération par rapport à

R

, exprimées avec la base (

!

"

u x,

!

"

u y) associée à

R

ʼ, sont donc : a = aʼ + aexʼ + acxʼ = -ω2vʼ t et a = aʼ + aeyʼ + acyʼ = 2ωvʼ.

(3)

• Finalement, le changement de base cartésien :

!

"

u x = cos(θ)

!

ux+ sin(θ)

!

uy et

!

"

u y = -sin(θ)

!

ux+ cos(θ)

!

uy donne (de même que pour le passage de {xʼ, yʼ} à {x, y} ) :

ax = a cos(θ) - a sin(θ) et ay = a sin(θ) + a cos(θ)

dʼoù on retrouve : ax = -2ωvʼ sin(ωt) - ω2vʼ t cos(ωt) et ay = 2ωvʼ cos(ωt) - ω2vʼ t sin(ωt).

• On peut calculer les coordonnées polaires du vecteur accélération en utilisant la composition des mouvements, mais le calcul est en général plus que compliqué. En simplifiant dans le cas où Oʼ est confondu avec O, et où les bases (

!

ur,

!

u") et (

!

"

u r,

!

"

u #) sont donc identiques :

!

v = r

!

ur + rθ

!

u" et l'accélération

!

a = (r•• - rθ•2)

!

ur + (2rθ + rθ••)

!

u" = -rω2

!

ur + 2vʼω

!

u" peut s'interpréter avec une accélération par rapport à

R

ʼ :

!

"

a =

!

0 une accélération dʼentraînement :

!

ae = -rθ•2

!

ur et une accélération complémentaire :

!

ae =

= 2rθ

!

u". On retrouve alors : ar = -rθ•2 = -ω2vʼ t et aθ = 2rθ = 2ωvʼ.

II. Référentiel en rotation

1.a.

• Dʼaprès la symétrie du problème, on choisit les origines O et Oʼ confondues au centre. On peut ensuite calculer dans le plan, en coordonnées cartésiennes ou polaires.

• Par rapport à

R

ʼ, un mouvement circulaire uniforme de rayon r0 peut être décrit par les équations paramétriques en coordonnées cartésiennes : xʼ = r0 cos(ωʼ t) et yʼ = r0 sin(ωʼ t) ou en coordonnées polaires : rʼ = r0 et θʼ = ωʼ t.

• En éliminant le temps entre ces deux équations, on obtient lʼéquation cartésienne de la trajectoire : xʼ2 + yʼ2 = r02 ou lʼéquation polaire : rʼ = r0.

1.b.

• Pour exprimer ce mouvement par rapport à

R

, on peut écrire en coordonnées cartésiennes :

!

OM = xʼ

!

"

u x + yʼ

!

"

u y = x

!

ux + y

!

uy ;

!

"

u x = cos(θ)

!

ux + sin(θ)

!

uy et

!

"

u y = -sin(θ)

!

ux + cos(θ)

!

uy (avec θ = ωt) ; x = xʼ cos(θ) - yʼ sin(θ) et y = xʼ sin(θ) + yʼ cos(θ).

• On en déduit les équations paramétriques cartésiennes : x = r0 cos[(ω + ωʼ)t] et y = r0 sin[(ω + ωʼ)t]

(ce qui peut se deviner car cʼest un cas simple).

◊ remarque : on retrouve lʼimmobilité dans le cas où ωʼ = -ω.

• En éliminant le temps entre ces deux équations, on obtient lʼéquation cartésienne de la trajectoire : x2 + y2 = r02.

• Si on utilise les coordonnées polaires, la transformation peut se traduire simplement sans forcément expliciter le lien complet entre la base (

!

ur,

!

u") et la base (

!

"

u r,

!

"

u #), car cette transformation ne porte ici que sur des vecteurs dʼorigine O (ou Oʼ) pour lesquels il nʼy a quʼune composante radiale (par contre il faut relier θ et θʼ, mais cʼest plus facile que pour les vecteurs de base

!

u" et

!

"

u #). On obtient ainsi : r = rʼ et θ = θʼ + ωt, dʼoù on déduit les équations paramétriques polaires : r = r0 et θ = (ω + ωʼ)t.

• Lʼéquation correspondante de la trajectoire est ainsi : r = r0.

2.a.

• On peut calculer les coordonnées cartésiennes du vecteur vitesse en dérivant les équations paramé- triques cartésiennes :

vx = x = -(ω + ωʼ)r0 sin[(ω + ωʼ)t]

vy = y = (ω + ωʼ)r0 cos[(ω + ωʼ)t]

◊ remarque : ceci correspond à la norme : v =│ω + ωʼ│ r0.

(4)

• On peut aussi calculer les coordonnées polaires du vecteur vitesse à partir des équations paramé- triques polaires, mais il ne suffit pas de dériver des coordonnées car les vecteurs de base polaires varient :

!

OM = r

!

ur et

!

v = r

!

ur + r

!

ur = r

!

ur + rθ

!

u" = r0.(ω + ωʼ)

!

u" cʼest-à-dire : vr = 0 et vθ = r0.(ω + ωʼ).

◊ remarque : on retrouve lʼimmobilité dans le cas où ωʼ = -ω.

2.b.

• On peut calculer les coordonnées cartésiennes du vecteur vitesse par composition des mouve- ments ; par rapport à

R

:

!

OM =

!

OO + "

!

"

O M =

!

OO + xʼ "

!

"

u x + yʼ

!

"

u y dʼoù :

!

v = [

!

OO "+ xʼ

!

"

u x + yʼ

!

"

u y] + [xʼ

!

"

u x + yʼ

!

"

u y].

• Ceci peut sʼécrire :

!

v =

!

ve +

!

"

v où

!

"

v = xʼ

!

"

u x + yʼ

!

"

u y est la vitesse par rapport à

R

ʼ (“relative”), et où

!

ve =

!

OO "+ xʼ

!

"

u x + yʼ

!

"

u y =

!

OO " +

!

"⨯

!

"

O M est appelée “vitesse dʼentraînement”.

• Sur la base (

!

"

u x,

!

"

u y), les coordonnées cartésiennes sont :

= -ωʼr0 sin(ωʼt) et vʼ = ωʼr0 cos(ωʼt) pour la vitesse par rapport à

R

ʼ ;

vexʼ = -ωyʼ = -ωr0 sin(ωʼ t) et veyʼ = ωxʼ = ωr0 cos(ωʼ t) pour la vitesse dʼentraînement ; les coordonnées cartésiennes de la vitesse par rapport à

R

, exprimées sur la base (

!

"

u x,

!

"

u y) associée à

R

ʼ,

sont donc : v = vʼ + vexʼ = -(ω + ωʼ)r0 sin(ωʼ t) et v = vʼ + veyʼ = (ω + ωʼ)r0 cos(ωʼ t).

• Finalement, le changement de base cartésien :

!

"

u x = cos(θ)

!

ux+ sin(θ)

!

uy et

!

"

u y = -sin(θ)

!

ux+ cos(θ)

!

uy donne (de même que pour le passage de {xʼ, yʼ} à {x, y} ) :

vx = v cos(θ) - v sin(θ) et vy = v sin(θ) + v cos(θ)

dʼoù on retrouve : vx = -(ω + ωʼ)r0 sin[(ω + ωʼ)t] et vy = (ω + ωʼ)r0 cos[(ω + ωʼ)t].

• On peut calculer les coordonnées polaires du vecteur vitesse par composition des mouvements, mais le cas général est compliqué. En simplifiant dans le cas où Oʼ est confondu avec O, et où les bases (

!

ur,

!

u") et (

!

"

u r,

!

"

u #) sont identiques :

!

OM = r

!

ur et

!

v = r

!

ur + r

!

ur = r

!

ur + rθ

!

u" peut s'interpréter

avec une vitesse par rapport à

R

ʼ :

!

"

v = rʼθʼ

!

u" = r0ωʼ

!

u" et une vitesse dʼentraînement :

!

ve = r ω

!

u". On

retrouve alors : vr = 0 et vθ = rθ = r0.(ω + ωʼ).

3.a.

• On peut calculer les coordonnées cartésiennes du vecteur accélération en dérivant les équations paramétriques cartésiennes :

ax = x•• = -(ω + ωʼ)2r0 cos[(ω + ωʼ)t]

ay = y•• = -(ω + ωʼ)2r0 sin[(ω + ωʼ)t]

◊ remarque : ceci correspond à la norme : a = (ω + ωʼ)2r0.

• On peut aussi calculer les coordonnées polaires du vecteur accélération à partir des équations paramétriques polaires, mais il ne sʼagit pas dʼune simple dérivation des coordonnées car les vecteurs de base polaires varient lors du mouvement :

!

v = r

!

ur + rθ

!

u" dʼoù :

!

a = r••

!

ur + r

!

ur + rθ

!

u" + rθ••

!

u" + rθ

!

u"

!

a = (r•• - rθ•2)

!

ur + (2rθ + rθ••)

!

u" = -r0.(ω + ωʼ)2

!

ur cʼest-à-dire : ar = -r0.(ω + ωʼ)2 et aθ = 0.

◊ remarque : on retrouve lʼimmobilité dans le cas où ωʼ = -ω.

3.b.

• On peut calculer les coordonnées cartésiennes du vecteur accélération en utilisant la composition des mouvements :

par rapport à

R

:

!

v = [

!

OO "+ xʼ

!

"

u x + yʼ

!

"

u y] + [xʼ

!

"

u x + yʼ

!

"

u y]

!

a =

!

v = [

!

OO "••+ xʼ

!

"

u x•• + yʼ

!

"

u y••] + [xʼ••

!

"

u x + yʼ••

!

"

u y] + 2 [xʼ

!

"

u x + yʼ

!

"

u y]

ce qui peut sʼécrire :

!

a =

!

ae +

!

ac +

!

"

a avec :

!

"

a = xʼ••

!

"

u x + yʼ••

!

"

u y accélération par rapport à

R

ʼ ;

!

ae =

!

OO "••+ xʼ

!

"

u x•• + yʼ

!

"

u y•• =

!

OO "•• +

!

"⨯(

!

"⨯

!

"

O M) accélération dʼentraînement ;

!

ac = 2 [xʼ

!

"

u x + yʼ

!

"

u y] = 2

!

"⨯

!

"

v accélération “complémentaire”.

(5)

• Sur la base (

!

"

u x,

!

"

u y), les coordonnées cartésiennes sont :

= -ωʼ2r0 cos(ωʼ t) et aʼ = –ωʼ2r0 sin(ωʼ t) (par rapport à

R

ʼ) ;

aexʼ = -θ•2xʼ = -ω2r0 cos(ωʼ t) et aeyʼ = -θ•2yʼ = -ω2r0 sin(ωʼ t) (entraînement) ;

acxʼ = -2ωvʼ = -2ωωʼr0 cos(ωʼ t) et acyʼ = 2ωvʼ = -2ωωʼr0 sin(ωʼ t) (complémentaire) ; les coordonnées cartésiennes de lʼaccélération par rapport à

R

, exprimées sur la base (

!

"

u x,

!

"

u y) associée à

R

ʼ, sont donc : a = aʼ + aexʼ + acxʼ = -(ω + ωʼ)2r0 cos(ωʼ t) et a = aʼ + aeyʼ + acyʼ = -(ω + ωʼ)2r0 sin(ωʼ t).

• Finalement, le changement de base cartésien :

!

"

u x = cos(θ)

!

ux+ sin(θ)

!

uy et

!

"

u y = -sin(θ)

!

ux+ cos(θ)

!

uy donne (de même que pour le passage de {xʼ, yʼ} à {x, y} ) :

ax = a cos(θ) - a sin(θ) et ay = a sin(θ) + a cos(θ)

dʼoù on retrouve : ax = -(ω + ωʼ)2r0 cos[(ω + ωʼ)t] et ay = -(ω + ωʼ)2r0 sin[(ω + ωʼ)t].

• On peut aussi calculer les coordonnées polaires du vecteur accélération par composition des mou- vements, mais le cas général est très compliqué. En simplifiant dans le cas où Oʼ est confondu avec O, et où les bases (

!

ur,

!

u") et (

!

"

u r,

!

"

u #) sont identiques :

!

v = r

!

ur + rθ

!

u" et

!

a = (r•• - rθ•2)

!

ur + (2rθ + rθ••)

!

u" =

= -r0(ω + ωʼ)2

!

ur peut s'interpréter par :

une accélération par rapport à

R

ʼ :

!

"

a = -r0ωʼ2

!

ur ; une accélération dʼentraînement :

!

ae = -r0ω2

!

ur ; une accélération complémentaire :

!

ac = -2ωωʼr0

!

ur. On retrouve alors : ar = -rθ•2 = -r0(ω + ωʼ)2 et aθ = 0.

◊ remarque : lʼopportunité du choix des coordonnées cartésiennes ou polaires dépend du système étudié, mais aussi de la question traitée : on peut passer des unes aux autres selon les besoins.

III. Référentiel en rotation

1.

• Dʼaprès la symétrie du problème, on peut calculer dans le plan en coordonnées cartésiennes (les coordonnées polaires semblent peu appropriées car Oʼ diffère de O).

• Par rapport à

R

ʼ, le mouvement circulaire uniforme de rayon R peut être décrit par les équations paramétriques en coordonnées cartésiennes : xʼ = R cos(ωt) et yʼ = R sin(ωt).

• Par rapport à

R

:

!

OM =

!

OO + "

!

"

O M = [R cos(ωt)

!

ux + R sin(ωt)

!

uy] + (xʼ

!

"

u x + yʼ

!

"

u y) = x

!

ux + y

!

uy ;

!

"

u x = cos(θ)

!

ux+ sin(θ)

!

uy et

!

"

u y = -sin(θ)

!

ux+ cos(θ)

!

uy (où θ = ωt) ; x = R[cos(ωt) + cos(2ωt)] et y = R[sin(ωt) + sin(2ωt)].

(6)

• On peut calculer les coordonnées cartésiennes du vecteur vitesse par rapport à

R

en dérivant les équations paramétriques : vx = x = -Rω[sin(ωt) + 2 sin(2ωt)] et vy = y = Rω[cos(ωt) + 2 cos(2ωt)].

• On peut calculer les coordonnées cartésiennes du vecteur accélération par rapport à

R

en dérivant à nouveau : ax = x•• = -Rω2[cos(ωt) + 4 cos(2ωt)] et ay = y•• = -Rω2[sin(ωt) + 4 sin(2ωt)].

2.

• On peut calculer les coordonnées cartésiennes du vecteur vitesse par rapport à

R

ʼ en dérivant les équations paramétriques : vʼ = xʼ = -Rω sin(ωt) et vʼ = yʼ = Rω cos(ωt).

• On peut calculer les coordonnées cartésiennes du vecteur accélération par rapport à

R

ʼ en dérivant à nouveau : aʼ = xʼ•• = -Rω2 cos(ωt) et aʼ = yʼ•• = -Rω2 sin(ωt).

3.

• On peut calculer les coordonnées du vecteur vitesse par rapport à

R

par composition des mouve- ments ; de

!

OM =

!

OO + "

!

"

O M =

!

OO + xʼ "

!

"

u x + yʼ

!

"

u y on déduit :

!

v = [

!

OO "+ xʼ

!

"

u x + yʼ

!

"

u y] + [xʼ

!

"

u x + yʼ

!

"

u y].

• Ceci peut sʼécrire :

!

v =

!

ve +

!

"

v où

!

"

v = xʼ

!

"

u x + yʼ

!

"

u y est la vitesse par rapport à

R

ʼ (“relative”), et où

!

ve =

!

OO "+ xʼ

!

"

u x + yʼ

!

"

u y =

!

OO " +

!

"⨯

!

"

O M est appelée “vitesse dʼentraînement”.

• Pour calculer par exemple les coordonnées de la vitesse dʼentraînement sur la base (

!

"

u x,

!

"

u y), on peut utiliser :

!

OO = R "

!

"

u x dʼoù :

!

OO " = R

!

"

u x = R

!

"⨯

!

"

u x =

!

"⨯

!

OO (car "

!

OO est fixe par rapport à "

R

ʼ) et

donc au total :

!

ve =

!

OO " +

!

"⨯

!

"

O M =

!

"⨯

!

OM.

• Dʼaprès les coordonnées de

!

OM par rapport à

R

ʼ : {R + xʼ ; yʼ} (différentes de xʼ et yʼ car ces der- nières se réfèrent à lʼorigine Oʼ), on obtient : vexʼ = -ωyʼ = -Rω sin(ωt) et veyʼ = ω.(R + xʼ) = Rω.[1 + cos(ωt)].

• Les coordonnées cartésiennes de la vitesse par rapport à

R

, exprimées sur la base (

!

"

u x,

!

"

u y) asso- ciée à

R

ʼ, sont donc : v = vʼ + vexʼ = -2Rω sin(ωt) et v = vʼ + veyʼ = Rω.[1 + 2 cos(ωt)].

• Finalement, le changement de base cartésien :

!

"

u x = cos(θ)

!

ux+ sin(θ)

!

uy et

!

"

u y = -sin(θ)

!

ux+ cos(θ)

!

uy donne (de même que pour le passage de {xʼ, yʼ} à {x, y} ) :

vx = v cos(θ) - v sin(θ) et vy = v sin(θ) + v cos(θ)

dʼoù on retrouve : vx = -Rω.[sin(ωt) + 2 sin(2ωt)] et vy = Rω.[cos(ωt) + 2 cos(2ωt)].

IV. Trajectoires de mouvements composés

• Par rapport au repère xOy le mouvement du point M peut être décrit par les équations paramétriques cartésiennes : x = 0 et y =

!

1 2a0t

2 (en intégrant deux fois y•• = a0 avec y(0) = 0 et y(0) = 0).

• Lʼéquation de la trajectoire est alors obtenue en éliminant t entre ces deux équations : x = 0 (la trajectoire est lʼaxe Oy).

• Par rapport au référentiel dʼun observateur qui parcourt lʼaxe Ox à vitesse constante v0, on peut utiliser un repère xOʼy où seule lʼorigine diffère, avec x(Oʼ) = v0t (en posant t = 0 lors du passage à lʼorigine) et y(Oʼ) = 0. Les coordonnées de M par rapport à ce référentiel sont : xʼ = -v0t et yʼ =

!

1 2a0t

2.

• Lʼéquation de la trajectoire est obtenue en éliminant t entre ces deux équations : yʼ =

!

a0 2v02

2 (la trajectoire est une parabole dont lʼaxe est Oy).

(7)

V. Trajectoires de mouvements composés

• Par rapport à xʼOʼyʼ les équations paramétriques sont : xʼ = R cos(ωt) et yʼ = R sin(ωt) si on sup- pose que OM est dans la direction et le sens de Ox à t = 0. Par rapport à xOy, on obtient par conséquent : x = v0t + R cos(ωt) et y = R sin(ωt).

• La courbe obtenue, du type cycloïde, peut prendre trois allures différentes selon les valeurs relatives de v0 et Rω ; cela peut se comprendre en considérant les coordonnées de la vitesse :

x = v0 - Rω sin(ωt) et y = Rω cos(ωt).

• On constate en effet que la coordonnée verticale de la vitesse sʼannule pour ωt =

!

"

2 [mod π], et on peut préciser les cas où ωt =

!

"

2 [mod 2π] : on obtient alors en effet : x = v0 - Rω ce qui met en évidence les trois cas :

si v0 < Rω alors x < 0 et il y a une “boucle” (M “revient en arrière”) :

x

y

si v0 = Rω alors x = 0 et il y a un point de rebroussement (M sʼarrête puis repart, mais toujours vers les x > 0) :

x

y

si v0 > Rω alors x > 0 et la courbe est “simplement sinueuse” :

x

y

(8)

B. EXERCICE D’APPROFONDISSEMENT VI. Vecteur “rotation d’entraînement” instantané

• Dʼaprès les définitions des repères orthonormés, les coordonnées de

!

"

u x sur la base (

!

"

u x,

!

"

u y,

!

"

u z) sont respectivement : (

!

"

u x)

!

"

u x ; (

!

"

u x)

!

"

u y ; (

!

"

u x)

!

"

u z ; cʼest-à-dire :

!

"

u x = [(

!

"

u x)

!

"

u x]

!

"

u x + [(

!

"

u x)

!

"

u y]

!

"

u y + [(

!

"

u x)

!

"

u z]

!

"

u z.

• Mais la dérivation de

!

"

u x 2 = 1 donne : (

!

"

u x)

!

"

u x = 0 et

!

"

u x = [(

!

"

u x)

!

"

u y]

!

"

u y + [(

!

"

u x)

!

"

u z]

!

"

u z.

• Dʼaprès les définitions du produit vectoriel :

!

"⨯

!

"

u x = [(

!

"

u y)

!

"

u z]

!

"

u x

!

"

u x + [(

!

"

u z)

!

"

u x]

!

"

u y

!

"

u x + [(

!

"

u x)

!

"

u y]

!

"

u z

!

"

u x

!

"⨯

!

"

u x = [(

!

"

u x)

!

"

u y]

!

"

u y - [(

!

"

u z)

!

"

u x]

!

"

u z.

• Mais la dérivation de

!

"

u x

!

"

u z = 0 conduit à : (

!

"

u x)

!

"

u z = -(

!

"

u z)

!

"

u x donc :

!

"⨯

!

"

u x = [(

!

"

u x)

!

"

u y]

!

"

u y + [(

!

"

u x)

!

"

u z]

!

"

u z =

!

"

u x et de même pour

!

"

u y et

!

"

u z.

• Pour un vecteur quelconque constant par rapport à

R

ʼ :

!

W = Wx

!

"

u x + Wy

!

"

u y + Wz

!

"

u z, on peut développer de la même façon la dérivée (par rapport à

R

) et le produit vectoriel :

!

W = Wx

!

"

u x + Wy

!

"

u y + Wz

!

"

u z et

!

"⨯

!

W = Wx

!

"⨯

!

"

u x + Wy

!

"⨯

!

"

u y + Wz

!

"⨯

!

"

u z et la conclusion découle donc de celle obtenue pour les vecteurs de base.

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