R R R R R R " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " u u u u u u u u u u u u u u u " " u u u u " u u u u u u u u u OM O O M O v OM O v v v v O v v v O M v O O M O O O O O ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !

1

A.C. IV - CHANGEMENT DE RÉFÉRENTIEL

1. Transformation du vecteur vitesse

• On cherche à décrire, par rapport à un référentiel

R

, un mouvement suppo- sé connu par rapport à un autre référentiel

R

^ʼ.

Le changement de référentiel peut avoir plusieurs utilités :

◊ un observateur ayant effectué une expérience peut connaître la façon dont un autre observateur a vu cette même expérience ;

◊ on peut simplifier lʼétude dʼun mouvement complexe en le décompo- sant en une combinaison de plusieurs mouvements simples.

• On peut écrire dans

R

^:

!

OM =

!

OO " +

!

"

O M =

!

OO " + xʼ

!

"

u _x + yʼ

!

"

u _y + zʼ

!

"

u _z et

!

v(M) =

!

OM^• = [

!

OO "^•+ xʼ

!

"

u _x ^• + yʼ

!

"

u _y ^• + zʼ

!

"

u _z ^•] + [xʼ^•

!

"

u _x+ yʼ^•

!

"

u _y + zʼ^•

!

"

u _z ]

Ceci peut sʼécrire :

!

v =

!

v_e +

!

"

v avec :

!

v_e =

!

OO "^• + xʼ

!

"

u _x^• + yʼ

!

"

u _y ^• + zʼ

!

"

u _z ^• “vitesse dʼentraînement”, et

!

"

v = xʼ^•

!

"

u _x + yʼ^•

!

"

u _y + zʼ^•

!

"

u _z “vitesse relative” (par rapport à

R

^ʼ).

• La vitesse dʼentraînement est la vitesse par rapport à

R

du point fixe de

R

^ʼ

qui coïncide avec M a lʼinstant considéré (“point coïncidant”).

Elle peut sʼécrire :

!

v_e =

!

v(Oʼ) +

!

"_e⨯

!

"

O M avec :

!

v(Oʼ) =

!

OO "^• (translation de Oʼ),

et

!

"_e⨯

!

"

O M = xʼ

!

"

u _x ^• + yʼ

!

"

u _y ^• + zʼ

!

"

u _z^• (rotation autour de Oʼ).

◊ remarque : la rotation de tout vecteur de norme constante (donc des vec- teurs unitaires) correspond à

!

"

u _x ^• =

!

"_e⨯

!

"

u _x (et de même pour

!

"

u _y et

!

"

u _z ).

◊ remarque : on peut ensuite exprimer (

!

"

u _x ,

!

"

u _y ,

!

"

u _z) en fonction de (

!

u_x ,

!

u_y ,

!

u_z ).

2

2. Transformation du vecteur accélération

• Dʼune façon analogue, par rapport à

R

^:

!

v(M) =

!

OM^• = [

!

OO "^•+ xʼ

!

"

u _x ^• + yʼ

!

"

u _y ^• + zʼ

!

"

u _z ^•] + [xʼ^•

!

"

u _x+ yʼ^•

!

"

u _y + zʼ^•

!

"

u _z ] et

!

a(M) =

!

OM^•• = [

!

OO "^•• + xʼ

!

"

u _x^•• + yʼ

!

"

u _y^•• + zʼ

!

"

u _z ^••] + [xʼ^••

!

"

u _x + yʼ^••

!

"

u _y + zʼ^••

!

"

u _z] + 2 [xʼ^•

!

"

u _x ^• + yʼ^•

!

"

u _y ^• + zʼ^•

!

"

u _z ^•]

Ceci peut sʼécrire :

!

a(M) =

!

a_e +

!

"

a +

!

a_c avec :

!

a_e =

!

OO "^•• + xʼ

!

"

u _x^•• + yʼ

!

"

u _y ^•• + zʼ

!

"

u _z^•• accélération dʼentraînement,

!

"

a = xʼ^••

!

"

u _x + yʼ^••

!

"

u _y + zʼ^••

!

"

u _z accélération relative (par rapport à

R

^{ʼ ),}

et

!

a_c = 2 [xʼ^•

!

"

u _x ^• + yʼ^•

!

"

u _y ^• + zʼ^•

!

"

u _z ^•] accélération “complémentaire”.

• Lʼaccélération dʼentraînement est lʼaccélération par rapport à

R

du “point coïncidant”.

Elle peut sʼécrire :

!

a_e =

!

a(Oʼ) + [

!

"_e^• ⨯

!

"

O M ₊

!

"_e⨯⁽

!

"_e⨯

!

"

O M)] avec :

!

a(Oʼ) =

!

OO "^•• (translation de Oʼ),

et

!

"_e^• ⨯

!

"

O M ₊

!

"_e⨯⁽

!

"_e⨯

!

"

O M) = xʼ

!

"

u _x ^•• + yʼ

!

"

u _y ^•• + zʼ

!

"

u _z ^•• (rotation).

• Lʼaccélération complémentaire (ou accélération “de Coriolis”) peut sʼécrire :

!

a_c = 2

!

"_e⨯

!

"

v .

3

3. Exemple de mouvement composé

• On considère une roue de rayon R et dʼaxe OOʼ horizontal ; cette roue roule sans glisser sur un plan horizontal, et OOʼ (de longueur ρ) tourne autour de lʼaxe Az à la vitesse angulaire constante ω = θ^•.

• On cherche, à un instant t, pour le point M qui passe en haut de la roue :

◊ les normes v et a par rapport au référentiel lié au plan ;

◊ lʼangle α de

!

a par rapport au plan.

• On peut utiliser le référentiel intermédiaire

R

ʼ en rotation à la vitesse

!

"

autour de lʼaxe Oz (ce nʼest pas une translation circulaire).

Le point Oʼ est immobile dans

R

ʼ et la vitesse relative de M (en rotation autour de OOʼ) est :

!

"

v (M) = R ϕ^•

!

u_" = R ϕ^•

!

"

u _y.

• Lʼimmobilité du point de contact C par rapport à

R

(C ne glisse pas) donne :

!

v(C) =

!

v_e(C) +

!

"

v (C) =

!

0.

De plus

!

"

v (C) = -

!

"

v (M) donc :

!

v_e(M) =

!

v_e(Oʼ) =

!

v_e(C) =

!

"

v (M) (en norme, cela correspond à ρ ω = R ϕ^•).

Au total :

!

v(M) =

!

v_e(M) +

!

"

v (M) et v = 2ρω.

4

• Lʼaccélération relative est :

!

"

a = ϕ^•2

!

MO " donc aʼ = Rϕ^•2 =

!

"²#² R ^. Lʼaccélération dʼentraînement est :

!

a_e(M) =

!

a_e(Oʼ) = ω²

!

"

O O (perpendicu- laire à

!

"

a ).

Lʼaccélération complémentaire

!

a_c(M) = 2

!

"⨯

!

"

v (M) est parallèle et de même sens que

!

a_e et a pour norme : a_c = 2 ω vʼ = 2ρω².

Au total (dans le plan xʼOz) : a =

!

(a_e +a_c)²+ " a ² = ρω²

!

9+ "

R

#

$% &

'(

2

.

Par ailleurs, lʼangle α de

!

a avec lʼhorizontale est tel que : tan(α) =

!

"

a

a_e +a_c ⁼

!

"

3R^.

& exercices n° I, II, III, IV et V.