• • • • • • • u u u u u u u u u u v v v v v v v v w × × × = = uu vu vu 0 0 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !! !! !!

Chap.3 :

PRODUIT SCALAIRE

I.

Définition

On considère deux vecteurs u! _et v! _{du plan.}

On appelle produit scalaire de u! _par v! le ……… …… noté u!×v! tel que :

• 𝑢. 𝑣 =……….. lorsque u! et v!

sont tous les deux non nuls.

• 𝑢. 𝑣 =…. lorsque u!=0 _ou v!=0_.

Exemples : Dans chacun des cas suivant, calculer le produit scalaire de u! _par v! _: 1) ||u!||=2_, ||v!||=3 _{et [2 ]}

) 6 ,

( p p

= v

u! ! : ………

2) ||u!||=2_, ||v!||=3 _{et [2 ]} 3 ) 2 ,

( p p

= v

u! ! : ………

3) ||u!||=2_, ||v!||=3 _{et [2 ]} ) 4

,

( p p

-

= v

u! ! : ………..

Remarque : Pour tout vecteur u!

du plan, on a : u!×u!=|| u!||´||u!||=|| u!||². Le nombre réel u!×u! est aussi noté u!²

et il est appelé carré scalaire du vecteur u! . II.

Autres expressions du produit scalaire

On considère trois points A, B et C et on note H le projeté orthogonal du point C sur la droite (AB).

• AB×AC=AB´AH si les vecteurs AB et AH sont de même sens.

• AB×AC=-AB´AHsi les vecteurs AB et AH sont de sens contraire.

Remarque : Ces résultats sont notamment utilisés en mécanique pour le travail exercé par une force lors d’un déplacement.

Pour tous vecteurs u! _et v! du plan de coordonnées respectives (x ; y) et (x’; y’) : 𝑢. 𝑣 =……….

Exemple : On considère les vecteurs u!(1 ; 2) et v!(2 ; −3). Calculer u!×v!.

………

……….………

III.

Propriétés et orthogonalité

Pour tous vecteurs u! , v!

et w!

du plan et tout nombre réel a,

• 𝑢. 𝑣 = • 𝑢. (𝑎𝑣) =

• 𝑢. (𝑣 + 𝑤) = et 𝑢 + 𝑣 . 𝑤 = Remarque :

Ces propriétés sont analogues à celles de la multiplication dans l’ensemble des nombres réels.

Ti2D / Produit scalaire Format Cours – Produit scalaire

(de 02 :40 à 06 :18)

Ti2D / Produit scalaire Format Cours – Produit scalaire

(de 06 :18 à 08 :57)

Ti2D / Produit scalaire Format Cours – Produit scalaire

(à partir de 08 :57)

On dit que deux vecteurs sont ……….. si leurs directions sont orthogonales ou si l’un d’eux est nul.

Deux vecteurs u! et v!

du plan sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul (ou encore « u!_!v! _Û u!×v!=0

»).

Exemples : 1) Démontrer que les vecteurs u!

(2 ; −3) et v!

(−6 ; −4) sont orthogonaux.

………

2) Déterminer la valeur de x telle que les vecteurs u!

(−1 ; 3) et v!

(x ; 1) soient orthogonaux.

………

………