Lundi 10 décembre 2012.
Durée : 1 h 30.
Test n° 2
1) Soit
u
la fonction définie surℝ
2paru x y ( ; ) = x
2+ y
2− 4 x − 2 y + 4
.a) Montrer que
u
est convexe.b) Montrer que
u
possède un extremum global et le déterminer.c) Déterminer
C
8, la courbe de niveau 8 de la fonctionu
.2) Soit
v
la fonction définie sur℘= {( ; ) x y ∈ ℝ
2/ x > 0, y > 0}
par( ; )
x y
v x y e
xy +=
.a) Montrer que
v
est de classeC
2sur℘
.b) Montrer que
v
est convexe.c) La fonction
v
possède-t-elle un extremum sur℘
?3) Soit
f
la fonction définie par( ; ) ( ; ) ( ; ) (
2 24 2 4)
x y
f x y u x y v x y x y x y e
xy += × = + − − +
.L’objectif de cette question est de prouver que la fonction
f
, produit de deux fonctions convexes sur℘
n’est pas convexe sur℘
.a) Montrer que
f
est de classeC
1sur℘
.b) Déterminer les dérivées partielles d’ordre 1 de
f
.c) Déterminer l’équation de
Π
(2;1), plan tangent à la surface représentative def
au point(2;1)
. d) On notek
la fonction affine qui admet pour représentation graphiqueΠ
(2;1).Calculer
f (1;1), (1;1) k
. e) Sachant que7
3 3
6(2; ) 2, 4
2 4
f = − e ≈ −
,3 1
32(2; ) 2, 2
2 2
k = − e ≈ −
, que peut-ondéduire de la question précédente ? Justifier soigneusement.
Dans la suite du problème on suppose que
x
ety
représentent des quantités économiques et quef
est une fonction économique définie sur℘
.4) On note
e
f x/ la fonction élasticité def
par rapport àx
ete
f y/ la fonction élasticité def
par rapport ày
.a) Déterminer, pour tout
x y , ∈℘
,e
f x/( ; ) x y
ete
f y/( ; ) x y
.b) En déduire une approximation de l’accroissement relatif de
f
au voisinage de(2;1)
lorsquex
croît de 2 % ety
diminue de 3 %.5) On suppose à présent qu’une contrainte économique se traduit par
x = 1
.a) Déterminer l’expression de la fonction
ϕ
définie sur]0; +∞ [
parϕ ( ) y = f (1; ) y
.b) Prouver que
ϕ
est de classeC
1sur]0; +∞ [
.c) Calculer une approximation de l’accroissement relatif de
ϕ
au voisinage dey = 2
siy
augmente de 1,2 %.