• Aucun résultat trouvé

De plus,h=u+v⇒h′ =u′+v′ donc pour toutx >2, h′(x) =u′(x) +v′(x) =−1 x2 + 1 2√ x

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "De plus,h=u+v⇒h′ =u′+v′ donc pour toutx >2, h′(x) =u′(x) +v′(x) =−1 x2 + 1 2√ x"

Copied!
2
0
0

Texte intégral

(1)

1S1:annexe doc 5 Corrections types exemples page 4 et 5 2014-2015

Dérivée d’une somme

Siuetv sont deux fonctions dérivables sur un intervalleI, alorsu+v est dérivable surI, et on a : (u+v)=u+v

C’est à dire,∀xI,(u+v)(x) =u(x) +v(x).

Exemple 1 Quelle est la dérivée de h: ]2; +∞[−→R

x 7−→ 1

x+√x ?

h=u+v, définie sur ]2; +∞[, intervalle sur lequel u: x7→ 1

x etv :x7→√ x sont dérivables et pour toutx >2, u(x) =−1

x2 etv(x) = 1 2√x. De plus,h=u+vh =u+v donc pour toutx >2,

h(x) =u(x) +v(x) =−1 x2 + 1

2√ x.

Dérivée d’un produit

Siuetv sont deux fonctions dérivables sur un intervalleI, alorsuv est dérivable surI, et on a : (uv) =uv+uv

C’est à dire,∀xI,(uv)(x) =u(x)v(x) +u(x)v(x).

Exemple 2 Quelle est la dérivée de h: ]2; +∞[−→R

x 7−→x2 x− 1

x3

?

h=uv, définie sur ]2; +∞[, intervalle sur lequelu:x7→x2 etv:x7→√ x− 1

x3 sont dérivables (en effet v =w+t, avec w et t dérivables sur ]2; +∞[ : v = w+t) et pour toutx >2, u(x) = 2xetv(x) = 1

2√ x

−3 x4

. De plus,h=uvh=uv+uv donc pour toutx >2,

h(x) =u(x)v(x) +u(x)v(x) = 2x

x− 1 x3

+x2

1

2√ x+ 3

x4

.

Conséquence très importante: Soitkun réel quelconque,uune fonction dérivable sur un intervalleI. D’après le théorème précédent,kuest dérivable surI et (ku)=ku

Exemple 3 Quelle est la dérivée de h: ]2; +∞[−→R

x 7−→4x3 ?

h = 4u, définie sur ]2; +∞[, intervalle sur lequel u: x 7→x3 est dérivable et pour toutx >2, u(x) = 3x2.

De plus,h= 4u⇒h= 4u donc pour toutx >2, h(x) = 4u(x) = 4×3x2= 12x2.

Dérivée d’un quotient

Siuetvsont deux fonctions dérivables sur un intervalleIetvne s’annulant pas surI, alors u

v est dérivable surI, et on a :

u v

= uvuv v2 C’est à dire,∀xI,u

v

(x) = u(x)v(x)−u(x)v(x) (v(x))2 .

My Maths Space 1 sur 2

(2)

1S1:annexe doc 5 Corrections types exemples page 4 et 5 2014-2015

Exemple 4 Quelle est la dérivée de h: ]2; +∞[−→R

x 7−→ 3x2 2x−4 ?

h=u

v, définie sur ]2; +∞[, intervalle sur lequelu:x7→3x2 et v:x7→2x−4 sont dérivables et v ne s’annule pas. Pour tout x > 2, u(x) = 3×2x = 6xetv(x) = 2×1−0 = 2.

De plus,h= u

vh= uvuv

v2 donc pour toutx >2, h(x) = u(x)v(x)−u(x)v(x)

v(x)2 =6x×(2x−4)−3x2×2

(2x−4)2 =6x2−24x (2x−4)2.

Conséquence très importante : Soit uune fonction dérivable sur un intervalleI sur lequel elle ne s’annule pas. D’après le théorème précédent, 1

u est dérivable surI et

1

u

=−u u2

Exemple 5 Quelle est la dérivée de h:R−→R

x 7−→ 1

x2+x+ 2 ?

h= 1

u, définie sur ]2; +∞[, intervalle sur lequelu:x7→x2+x+ 2 est dérivable et ne s’annule pas (∆ < 0,u(x) > 0, signe de a). Pour tout x > 2, u(x) = 2x+ 1 + 0 = 2x+ 1.

De plus,h= 1

uh=−u

u2 donc pour tout x >2, h(x) =−u(x)

u(x)2 =− 2x+ 1 (x2+x+ 2)2.

Opération Fonction Dérivée

Addition u+v u+v

Multiplication uv uv+uv

Multiplication par un scalaire ku ku

Quotient u

v

uvuv v2

Inverse 1

uu

u2

My Maths Space 2 sur 2

Références

Documents relatifs

2) Envoi doublé. Par préaution, on hoisit d'envoyer le même message deux fois.. a) A ve quelle probabilité le i-ième symbole du premier message reçu

[r]

Observed Predicted.. %6WDUWLQJSKDVH 5HPRYLQJSUHSDUDWLRQVWDJH 2 : 1⇐7KHSRVVLEOHDEVHQFHRISUHSDUDWLRQVORZV VXEMHFW$RYHUDGGLWLYHHIIHFW

'SRFOXVLRQ ‡5DFH1HWZRUNPDQLSXODWHVWLPHVDQGSUHGLFWVWLPHV ‡7KHVWDUV ²(TXLYDOHQWWRDQDFFXPXODWRUPRGHO

(3) G´ en´ eraliser les r´ esultats pr´ ec´ edents aux matrices carr´ ees de taille n et aux matrices sym´ etriques de taille n.. * Exercice 12 — On consid` ere l’espace

Comme la fonction logarithme est croissante, on obtient par composition que k est croissante sur

Les deux valeurs étant différentes, u n’est pas géométrique.. En fait, u a la forme d’une suite

[r]