Recherche des solutions de (E) ∀x∈R, vest solution de (E)⇔v′(x)−2v(x) =xex ⇔v′(x)−2v(x) =u′(x)−2u(x) caruest solution de (E) ⇔v′(x)−u′(x)−2(v(x)−u(x

TS Correction fiche TP 10 _2011-2012

On considère l’équation différentielle (E) : y^′−2y=xe^x 1. (E0) : y^′−2y= 0⇔y^′ = 2y.

Les solutions de l’équation (E0) sont les fonctions de la forme :

x7−→Ae^2xoùAest une constante arbitraire.

2. Recherche d’une solution particulière

∀x∈R, u(x) = (ax+b)e^xest solution de (E)⇔u^′(x)−2u(x) =xe^x

⇔(ax+a+b)e^x−2(ax+b)e^x=xe^x

⇔e^x[x(−a−1) +a−b] = 0

⇔x(−a−1) +a−b= 0 car e^x 6= 0,∀x∈R

⇔

−a−1 = 0 a−b= 0

⇔

a=−1

a=b

⇔u(x) = (−x−1)e^x .

3. Recherche des solutions de (E)

∀x∈R, vest solution de (E)⇔v^′(x)−2v(x) =xe^x

⇔v^′(x)−2v(x) =u^′(x)−2u(x) caruest solution de (E)

⇔v^′(x)−u^′(x)−2(v(x)−u(x)) = 0

⇔(v−u)^′(x)−2(v−u)(x) = 0

⇔v−uest solution de (E⁰) .

4. D’après ce qui précède :

∀x∈R, v solution de (E)⇔(v−u)(x) =Ae^2x⇔v(x) =Ae^2x+u(x)⇔ v(x) =Ae^2x+ (−x−1)e^x 5. Solution de (E) qui s’annule en 0 :

v(0) = 0⇔Ae⁰+ (−1)e⁰= 0⇔A= 1.

La solution cherchée est :

v(x) = e^2x+ (−x−1)e^x

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