PSI* — 2019/2020 — Corrigé partiel du T.D. 12 Page 1
6. a)(Ea) ∂f
∂x −∂f
∂y + 3(x−y)f(x, y) = 0; ici nous pouvons chercher les solutions C1 sur R2. Je mets en place le changement de variables suggéré par l’énoncé : àf :R2→Rj’associeg:R2 →R, définie par
∀(u, v)∈R2 g(u, v) =f v+u 2 ,v−u
2 .
de sorte que
∀(x, y)∈R2 f(x, y) =g(x−y, x+y).
Par conséquent, en vertu des théorèmes opératoires classiques, f est C1 sur R2 si et seulement si g est C1 sur R2 et, si c’est le cas, j’ai par la règle de la chaîne
∀(x, y)∈R2 ∂f
∂x(x, y) = ∂g
∂u(x−y, x+y) +∂g
∂v(x−y, x+y)
et ∂f
∂y(x, y) =−∂g
∂u(x−y, x+y) +∂g
∂v(x−y, x+y) Donc f est solution C1 de(Ea) sur R2 si et seulement sig est C1 sur R2 et vérifie
∀(x, y)∈R2 2∂g
∂u(x−y, x+y) + 3(x−y)g(x−y, x+y) = 0 soit
∀(u, v)∈R2 2∂g
∂u(u, v) =−3ug(u, v). (1)
Sigvérifie cette relation, pour vfixé la fonctionz:u→g(u, v)de la seule variableu est solution de l’équation différentielle ordinairez′=−3u
2 z, dont la solution générale estz=λexp −3u2/4 , λ∈ R. Mais ici la “constante” λdépenda priori dev, je la note A(v) et j’ai donc
∀(u, v)∈R2 g(u, v) =A(v) exp −3u2/4 . Mézalor A(v) =g(0, v)montre que A est nécessairement C1 surR.
Réciproquement, pour toute fonction A ∈ C1(R,R), la fonction g : (u, v) → A(v) exp −3u2/4 vérifie bien la relation (1). En conclusion, en revenant à (x, y),
Les solutionsC1 sur R2 de(Ea) sont les(x, y)→A(x+y) exp −3 (x−y)2/4 ,A∈ C1(R,R).
b)(Eb) x∂f
∂y −y∂f
∂x = k.f : même si l’énoncé n’en parlait pas, il faudrait penser aux coordonnées polaires !
Pour simplifier, je me limite aux solutions dans U = (x, y)∈R2 / x >0 . À f :U →Rj’associeg: Ω→Roù Ω =R+∗×]−π/2, π/2[, définie par
∀(r, θ)∈Ω g(r, θ) =f(rcosθ, rsinθ). J’ai alors
∀(x, y)∈U f(x, y) =g x2+y2,arctany x .
Par conséquent, en vertu des théorèmes opératoires classiques, f est C1 sur U si et seulement si g est C1 sur Ωet, si c’est le cas, j’ai
∀(r, θ)∈Ω ∂g
∂θ (r, θ) =−rsinθ∂f
∂x(rcosθ, rsinθ) +rcosθ∂f
∂y (rcosθ, rsinθ) (expression qui a motivé le passage en coordonnées polaires !).
Donc f est solution de (Eb)sur U si et seulement si g estC1 sur Ωet vérifie
∀(r, θ)∈Ω ∂g
∂θ(r, θ) =k.g(r, θ)
soit (en intégrant à r fixé) si et seulement s’il existe une fonctionA C1 sur R+∗ telle que
∀(r, θ)∈Ω g(r, θ) = Φ (r).ekθ.
PSI* — 2019/2020 — Corrigé partiel du T.D. 12 Page 2 Le raisonnement est similaire à celui du a): l’implication de bas en haut est banale et, si je suppose que g,C1 sur Ω, vérifie
∀(r, θ)∈Ω ∂g
∂θ (r, θ) =k.g(r, θ),
alors pour r >0 fixé, la fonction θ→g(r, θ) est solution de l’équation différentielle ordinaire u′ =k.u, dont la solution générale est u=λekθ, où la “constante”λ dépend a priori der ; je la noteΦ (r) et je constate que la fonction Φest nécessairementC1 surR+∗ puisque
∀r∈R+∗ Φ (r) =g(r,0). Soit, en revenant à(x, y) :
Les solutions C1 de (Eb) sur U sont les(x, y)→Φ x2+y2 .exp k.arctany
x ,Φ∈ C1(R+∗,R).
