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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

1er S PRODUIT SCALAIRE – 1er partie

Objectifs : Définitions et propriétés du produit scalaire de deux vecteurs. (Projection orthogonale, analytiquement, avec les normes, avec les norme et un angle).

Démonstration du théorème de la médiane.

I- Définitions 1) Norme d’un vecteur

Soit un vecteur u! et A, B deux points tels que ! u=AB" !""

• On appelle NORME de u!, et on note !

u , la LONGUEUR AB. Ainsi AB! "!!

=AB

• Une norme est un nombre positif ou nul.

• Si dans un repère orthonormé u! X Y

!

"#

$

%& alors

u! 2 = X2 +Y2 et !

u = X2 +Y2 Avec AB! "!! xB!xA

yB !yA

"

#$

%

&' on a AB

! "!! 2

= AB2 =(xB !xA)2 +(yB !yA)2

! "AB!!

=AB= (xB!xA)2 +(yB!yA)2

• Pour tout k ∈! on a ku! = k ! u!

• Un vecteur u! tel que u! =1 s’appelle VECTEUR UNITAIRE

• En général ! u+!

v ! ! u + !

v , il n’y a égalité que dans certains cas.

Mais on a toujours ! u+!

v ! ! u + !

v (On a toujours AC! "!!

=! "AB!!

+! "BC!!

mais en longueur AC≤ AB+BC) Exercice 1 : Calculer la norme !

u pour u!(-2 ; 3).

2) Produit scalaire

Soient ⎯→u et ⎯→v deux vecteurs non nuls du plan.

Le produit scalaire de ⎯→u par ⎯→v noté ⎯→u . ⎯→v est le nombre défini par l’une ou l’autre des égalités ci-dessous (ROC) :

Définition  :    

u ! . v !

= 1 2 u !

2

+ v !

2

! u !

! v !

2

( )

ou    

u ! . v ! = 1 2 u !

+ v !

2

! u !

2

! v !

2

( )

Ce n’est pas une multiplication …

(2)

Théorème 1 : u

!.v!

=xx'+ yy'

où ( x ; y ) et ( x’ ; y’ ) sont les coordonnées respectives de ⎯→u et de ⎯→v dans un repère orthonormal quelconque .

Théorème 2 : u!

. v!

=OA" !""

. OB" !""

=OA!OB!cos AOB#

= u!

! v!

!cos u! , v!

( )

Le produit scalaire de deux vecteurs est égal au produit de leurs normes par le cosinus de l’angle qu’ils forment.

où O , A et B sont trois points du plan tels que

⎯→u = ⎯ ⎯ →OA et ⎯→v = ⎯ ⎯ →OB .

H est le projeté orthogonal de B sur la droite ( OA )

Théorème 3 : u!

.v!

=OA" !""

.OB" !""

= OA!OH si OA" !""

et OH" !""

sont de même sens

"OA!OH si OA" !""

et OH" !""

sont de sens contraire

#$

%

&%

Conventions : Si ⎯→u = ⎯→0 ou ⎯→v = ⎯→0 , on pose ⎯→u . ⎯→v = 0 . u!

.u!

= u! 2

=u!2

Exercice 2 : ABCD un parallélogramme tel que AB = 4, BC = 3 et AC = 6 Déterminer les produits scalaires : BA! "!!

.BC! "!!

;BA! "!!

.CA! "!!

et AB! "!!

.! "DC!!

Exercice 3 : ABCD un rectangle tel que AB = 4 cm et BC = 3 cm. Calculer ! "AC!!

iDB! "!!

.

Exercice 4 : Soient A ( 2 ; 3 ) , B ( -1 ; 4 ) et C ( -2 ; 1 ) trois points du plan muni d’un repère orthonormal. Déterminer AB! "!!

.BC! "!!

puis ! "BA!!

.CA! "!!

.

Exercice 5 : Soit  ABC  un  triangle  équilatéral  tel  que  AB  =  3  (dans  l’unité  de  longueur  choisie  )  .   Les  points  E,  F  et  D  sont  les  milieux  des  côtés  [AB]  ,  [BC]  et  [AC].  Déterminer  AB! "!!

.AC! "!!

 ,! "AB!!

.CE! "!!

  et  AF! "!!

.CE! "!!

.  

Exercice 6 : Dans un plan muni d’un repère orthonormal, on considère A(0 ; 4) ; B(-2 ; 0) et C(3 ; 0 ).

a) Calculer le produit scalaire AB! "!!

.! "AC!!

b) En déduire cosBAC!

c) Donnez une mesure en degré de l’angle BAC!, arrondie au dixième    O              H            A  

B  

H              O                  A   B  

(3)

II- Propriétés 1) Orthogonalité

Rappel: Soient ⎯→u et ⎯→v deux vecteurs, dire que ⎯→u = !"

et ⎯→v = !" sont orthogonaux signifie que (AB) et (CD) sont perpendiculaires

Exercice 7 : Les vecteurs suivants sont-ils orthogonaux ? a) u!

(2 ; 5 ) et v!

(-10 ; 4) b) u!

(-2 ; -5 ) et v!

(-10 ; 4) 2) Projeté orthogonaux.

Ø On a considéré les vecteurs de même origine, mais le résultat est le même dans les autres cas :

Si C’ et D’ sont les projetés orthogonaux de C et D sur ( AB ) , alors : AB! "!!

.CD! "!!

=AB! "!!

.C! "!!!!'D' Si A’ et B’ sont les projetés orthogonaux de A et B sur ( CD ) , alors : AB! "!!

.CD! "!!

=! "A' B'!!!

. CD! "!!

Pour calculer le produit scalaire de deux vecteurs, on peut remplacer l’un deux par son projeté orthogonal sur la droite qui porte l’autre.

3) Opérations

Soit ⎯→u , ⎯→v et ⎯→w trois vecteurs du plan et k un réel, on a : Symétrie : ⎯→u . ⎯→v = ⎯→v . ⎯→u

Bilinéarité : ⎯→u . ( ⎯→v + ⎯→w ) = ⎯→u . ⎯→v + ⎯→u . ⎯→w ( k ⎯→u ) . ⎯→v = k ( ⎯→u . ⎯→v ) ( ⎯→u +⎯→v ) .⎯ ⎯ →w = ⎯→u . ⎯→w + ⎯→v . ⎯→w ⎯→u . ( k ⎯→v ) = k ( ⎯→u . ⎯→v )

conséquence : a ⎯→u . b ⎯→v = ab ⎯→u . ⎯→v ( où a et b sont deux réels quelconques )

§ Ainsi , après quelques calculs, on retrouve des produits scalaires remarquables ( bien familiers ) ( ⎯→u + ⎯→v ) ² = ⎯→u ² + ⎯→v ² + 2 ⎯→u . ⎯→v ; ( ⎯→u – ⎯→v ) ² = ⎯→u ² + ⎯→v ² – 2 ⎯→u . ⎯→v et

( ⎯→u + ⎯→v ) ( ⎯→u – ⎯→v ) = ⎯→u ² – ⎯→v ²

Exercice 8 : ABCD est un rectangle et Γ est le demi-cercle de diamètre [DC] et de centre O. La perpendiculaire en O à [DC] coupe Γ en E. On a AB = 4 et AD = 2.

a) Calculer les produits scalaires DA! "!!

.OE! "!!

et ! "DC!!

.DO! "!!

. b) Calculer DB! "!!

.DE! "!!

en utilisant la relation de Chasles.

III- Théorème de la médiane

Théorème (ROC) : Soit un triangle ABC et I le milieu de [BC], on a AB ² + AC ² = 2 AI ² + BC ² 2 Exercice 9 : ABCD un parallélogramme AB =15, BC = 13 et AC = 14. Calculer DB.

Théorème : Dans un repère orthonormal, on considère les deux vecteursnon nuls ⎯→u ( x ; y ) et

⎯→v ( x’ ; y’ ) ; u! et v!

sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul u!

v!

u! . v!

= 0 x x’ + y y’ = 0

Par convention, on dit que le vecteur nul est orthogonal à tout autre vecteur

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