Exercice4 — On consid`ere les vecteurs suivants de R3: u v w x= (1,3,4), ainsi que les familles de vecteurs suivantes : F= (u, v), G= (u, v, w), H= (u, v, x), I= (u, v, w, x)

Universit´e Paris XII Licence ´Economie-Gestion

Math´ematiques Tronc commun, semestre 3

5. Espaces vectoriels

Exercice1 —

(1) Les ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de R? E1={0} E2=Z E3=R+ E4=R (2) Les ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de R² ?

E₅={(x, y)∈R²|x+y= 0} E₆={(x, y)∈R²|x+y= 1}

E7={(x, y)∈R²|x²+y²=a} (a∈R) E8={(x, y)∈R²|xy= 0} E9={(x, y)∈R²|x= 0}

(3) Les ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de R³ ?

E₁₀={(x, y, z)∈R³|x+y= 0} E₁₁={(x, y, z)∈R³|x+y+z= 0}

E12={(x, y, z)∈R³|x+ 2y= 0, x−3z= 0}

E₁₃={(x, y, z)∈R³|xyz= 0} E₁₄={(x, y, z)∈R³|x+y+z= 0, x²−z²= 1}

Exercice2 — On consid`ere les vecteursu= (1,2,3)∈R³ etv= (3,2,1)∈R³. (1) Montrer queuetv sont lin´eairement ind´ependants.

(2) Donner un vecteur wtel queu,v etwsoient lin´eairement d´ependants.

(3) Donner un vecteur wtel queu,v etwsoient lin´eairement ind´ependants.

Exercice3 — On consid`ere les vecteurs suivants de R²:

v1= (3,1), v2= (2,3), v3= (0,2), v4= (0,−1), v5= (3,2), v6= (4,−1), v7= (5,−2), ainsi que les familles de vecteurs suivantes :

F= (v₁, v₂), G= (v₃, v₄), H= (v₅, v₆, v₇).

D´eterminer les familles libres, les familles g´en´eratrices deR² et les bases deR².

Exercice4 — On consid`ere les vecteurs suivants de R³:

u= (1,−1,1), v= (0,−1,2), w= (1,−2,3), x= (1,3,4), ainsi que les familles de vecteurs suivantes :

F= (u, v), G= (u, v, w), H= (u, v, x), I= (u, v, w, x).

D´eterminer les familles libres, les familles g´en´eratrices deR³ et les bases deR³.

Exercice5 — Soit

F ={(x, y, z, t)∈R⁴|x−z=a, y−t=b}

o`ua et b sont deux r´eels donn´es. Donner une condition n´ecessaire et suffisante sur aet b pour queF soit un sous-espace vectoriel deR⁴. D´eterminer alors la dimension deF et une base deF.

1

Exercice6 —

(1) SoitF etGdeux sous-espaces vectoriels deRⁿ. Montrer queF∩Gest encore un sous-espace vectoriel.

(2) On se place dans R² et on consid`ere les droites vectorielles D₁ = {(x, y) ∈ R²|x+y = 0} et D₂ = {(x, y)∈R²|x=y}. Quelle est l’intersection de ces deux droites ? Leur union est-elle un sous-espace vectoriel ?

Exercice7 — On consid`ere les vecteurs suivants de R³:

v₁= (1,2,3), v₂= (2,−1,1), v₃= (1,0,1), v₄= (0,1,1).

Montrer que Vect(v₁, v₂) = Vect(v₃, v₄).

Exercice8 — On consid`ere les vecteurs suivants de R⁴:

v₁= (0,1,2,3), v₂= (3,2,1,0), v₃= (1,1,1,1).

Donner une condition n´ecessaire et suffisante pour qu’un vecteur (x, y, z, t)∈R⁴soit un ´el´ement du sous-espace engendr´e parv₁,v₂ etv₃.

Exercice9 — Dans R⁴, soit

E={(x, y, z, t)∈R⁴|x−2y+z= 0, z=−2x}

etF le sous-espace engendr´e parv₁= (1,2,1,2),v₂= (−2,0,3,4) etv₃= (4,3,−6,−7).

(1) Montrer queE est un sous-espace vectoriel deR⁴. En d´eterminer une base et la dimension.

(2) D´eterminer une base et la dimension de F. (3) D´eterminer une base et la dimension de E∩F.

Exercice10 — D´eterminer, en fonction du r´eelα, la dimension du sous-espace engendr´e par les vecteurs deR⁴ suivants.

v1= (α,1,1,1), v2= (1, α,1,1), v3= (1,1, α,1), v4= (1,1,1, α).

* Exercice11 —

(1) On consid`ere les matrices

A11=

1 0

0 0

, A12=

0 1

0 0

, A21=

0 0

1 0

, A22=

0 0

0 1

.

Montrer que (A₁₁, A₁₂, A₂₁, A₂₂) est une base de l’espace vectorielM₂₂ des matrices carr´ees de taille 2.

En d´eduire la dimension deM₂₂.

(2) Montrer que l’ensemble de E des matrices sym´etriques de taille 2 est un sous-espace vectoriel deM22. D´eterminer une base deE et en d´eduire la dimension deE.

(3) G´en´eraliser les r´esultats pr´ec´edents aux matrices carr´ees de taillenet aux matrices sym´etriques de taille n.

* Exercice 12 — On consid`ere l’espace vectorielR[X] des polynˆomes `a coefficients r´eels. On rappelle que le degr´e d’un polynˆomeP, not´e degP, est le plus grand exposant apparaissant dans le polynˆome : si P(X) = adX^d+ad−1X^d−1+· · ·+a1X+a0 avecad6= 0, alors degP =d(on convient par ailleurs que deg 0 =−∞).

(1) Montrer que siPetQsont deux polynˆomes et queλest un r´eel, alors deg(P+Q)6degP, deg(P+Q)6 degQet deg(λP)6degP. En d´eduire que le degr´e d’une combinaison lin´eaire de polynˆomesP1, . . . , Pk

est inf´erieur ou ´egal au maximum des degr´es desP_i.

(2) En d´eduire, en raisonnant par l’absurde, que R[X] ne poss`ede pas de base consitu´ee d’un nombre fini de polynˆomes.