t x y z ∇ V = + + = 0 ∇⋅ V = 0 x y z u = v = w = ∇× V = 0V =∇ ∇× V = 0

V. ECOULEMENT POTENTIEL

Dans ce chapitre nous allons étudier les problèmes des écoulements potentiels et leurs solutions.

V.1 Introduction et Rappel Rappel : Potentiel de Vitesse

Si l’effet visqueux peut être négligeable, écoulements à faible vitesse peuvent être considérés irrotationnels, et on a

∇ × V = 0

, qui donne la condition pour que le potentiel de vitesse puisse exister :

∇ × V = 0

:

V = ∇ φ

:

u = ∂ φ

∂ x

^,

v = ∂ φ

∂ y

^,

w = ∂ φ

∂ z

L’équation de continuité,

∇ ⋅ V = 0

, donne l’équation de Laplace :

∇

²

V = ∂

²

φ

∂ x

²

+ ∂

²

φ

∂ y

²

+ ∂

²

φ

∂ z

²

= 0

L’équation de mouvement donne l’équation de Bernoulli :

∂ φ

∂ t + P ρ ⁺

1

2 V

²

+ g z = const

. Où

V = ∇ φ

Rappel : Fonction de Courant

Pour un écoulement plan et incompressible au plan x-y d’un système cartésien, une fonction de courant existe :

u y

∂ Ψ

= ∂ _et v x

∂ Ψ

−∂

=

La condition pour un écoulement irrotationnel en est réduite à l’équation de Laplace avec Ψ:

∂

²

Ψ

∂ x

²

+ ∂

²

Ψ

∂ y

²

= 0

Pour les surfaces solides Ψ_solides = const.

Fig.5.1 : Lignes de courant et les lignes potentielles sont

orthogonales et on peut renverser leurs rôles s’il devient nécessaire : (a) l’écoulement typique sans friction, (b) le même que (a) mais Ψ et φ sont renversés

Coordonnées Polaires planes

Les équations de Cauchy-Riemann pour les composants de vitesse au plan polaire (r, θ) en fonction de potentiel de vitesse et de ligne de courant φ, et Ψ sont :

v_r =∂ φ

∂r =1 r

∂Ψ

∂ θ ^{vθ =} 1 r

∂φ

∂ θ ^{= −}

∂Ψ

∂r

Dans ce système de coordonnées l’équation de Laplace est:

1 r

∂

∂r r∂ φ

∂r

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ + 1 r²

∂²φ

∂θ^{2 =0}

V.2 Ecoulement Plan Elémentaire

Nous avons vu les trois écoulements potentiels : (a) écoulement homogène et parallèle, (b) source ou puits à l’origine, et (c) fil tourbillonnaire à l’origine. Nous pouvons les utiliser pour développer des écoulements potentiels plus complexes.

Ces écoulements sont :

(a) iU, dans la direction x :

Ψ = U y φ = U x

(b) source ou puits :

Ψ = m θ φ = m ln r

(c) Fil tourbillonnaire :

Ψ = − K ln r φ = K θ

Dans les cas (b) et (c), l’intensité de source ‘m’ et l’intensité de tourbillon ‘K’ ont la même dimension [L²/t].

Si nous écrivons l’écoulement homogène et parallèle dans les coordonnées polaires, nous avons:

(a) iU :

Ψ = U r sin θ φ = U rcos θ

Pour un écoulement en mouvement avec un angle α par rapport à l’axe x, nous pouvons écrire:

u = Ucos α = ∂ Ψ

∂ y = ∂ φ

∂ x v = Usin α = − ∂ Ψ

∂ x = ∂ φ

∂ y

Après intégration, nous obtenons les expressions pour la fonction de courant et le potentiel de vitesse :

Ψ = U y ( cos α − x sin α ) φ = U x ( cos α + y sin α )

Circulation

La circulation de fluide est une conception très utile dans le traitement des problèmes, en particulier, dans l’analyse aérodynamique.

Nous définissons la circulation Γ comme l’intégrale prise de l’arc dS fois la vitesse tangentielle de la courbe fermée C ; e.g.

Γ = V cos α d s

∫

c

= V ⋅ ds

c

∫

Γ = ( u dx + v dy + wdz )

∫

c

Fig. 5.2 Définition de circulation Pour la majorité des écoulements, l’intégrale le long d’une courbe fermée à partir d’un point jusqu’au même point donne Γ = 0. Pourtant, pour un écoulement tourbillonnaire,

φ

= K θ, et l’intégration produit Γ = 2 π K.

Une circulation équivalente peut être conçue en définissant une trajectoire circulaire de rayon r au centre du tourbillon et nous pouvons obtenir :

Γ = v

_θ

∫

c

d s = K r

0 2π

∫ r d φ = 2 π K

Point Important: Une source ou puits ne produit pas une circulation. Sans tourbillons, la circulation sera zéro pour n’importe quelle trajectoire fermée autour de n’importe quel nombre de source ou puits.

V.3 Superposition des Ecoulements Potentiels

Grâce au caractère mathématique des équations des écoulements potentiels, le principe de superposition peut être utilisé pour déterminer les solutions des écoulements complexes. Pour se faire, nous pouvons faire sommation des

potentiels de vitesse et des fonctions de lignes élémentaires individuels. La technique est montrée graphiquement à la figure suivante :

Par exemple, la valeur de la fonction de courant à chaque intersection est égale au somme des fonctions de courant

traversant ce point.

Ça sera la même pour le potentiel de vitesse à un point d’intersection d’un écoulement combiné.

Fig. 5.3 Superposition d’écoulements Quelques exemples classiques de superposition d’écoulements sont présentés dans la suite :

1. Source m au (-a, 0) ajoutée à un puits au (+a, 0).

ψ = − m tan

⁻¹

2 a y

x

²

+ y

²

− a

²

φ = 1

2 m ln ( x + a )

²

^{+ y}

²

x − a

( )

²

^{+ y}

²

Les lignes de courant et de potentiel sont deux familles de cercle orthogonal comme montrées à la figure 5.4.

Fig. 5.4 Superposition de source (-1,0) et de puits (1,0)

2. Un puits m plus un tourbillon K, tous les deux à l ‘origine.

ψ = m θ − K ln r φ = m ln r + K θ

Les lignes de courant sont des spirales logarithmiques orientées vers l’origine.

Elles semblent être une tornade ou un tourbillon dans un bain. (Voir Fig. 5.5 ).

Fig. 5.5 Superposition de puits et de tourbillon à l’origine

3. Ecoulement homogène et parallèle i U_∞ plus une source m à l’origine (Voir Fig.

5.6), qui est le demi corps de Rankine. Si l’origine contient une source, un demi- corps plan est formé avec l’apex vers le côté gauche comme montré à la figure suivante. Si, par contre, l’origine contient un puits, m < 0, le demi corps a un apex vers le côté droit. Pour tous les deux cas, le point de stagnation est à la position de a = m / U_∞ loin de l’origine.

(a) un écoulement homogène et parallèle plus une source produit un demi corps avec le point de stagnation à x = - a = -m/U_∞.

(c) un écoulement homogène et parallèle plus un puits avec un point de stagnation à x = a = m/U_∞.

(b et d) variation de vitesse de l’écoulement libre ainsi que variation de pression.

Fig. 5.6 Le demi corps de Rankine

Exemple :

Dans un central thermique proche de la côte de mer le débit d’eau de

refroidissement est de 40 m³/s et la prise d’eau est à une profondeur de 10m, comme montré à la figure 5.7. Si la vitesse de la marée près de la prise est de 0.2 m/s, calculez (a) la longueur de l’effet à la prise d’eau, (b) la largeur de la marée qui sera aspirée par la prise d’eau.

L’intensité du puits est reliée au volume de l’écoulement, Q et la profondeur de l’eau par

s m m

x s m b

m Q 0.64 /

10 2

/ 40 2

2

3 =

=

= π π

La longueur de l’effet en aval est:

s m m

s m U

a m 3.2

/ 2 . 0

/ 64 .

0 ² =

=

=

La largeur de l’écoulement aspiré par la prise d’eau est:

m m

x a

L=2π =2π 3.2 =20.1

Fig. 5.7 Problème de central thermique

Ecoulement Homogène et Parallèle Plus Tourbillon

Considérons un écoulement homogène et parallèle, U_∞ en écoulement dans la direction de x et un tourbillon avec une intensité K situé à l’origine. En utilisant le principe de superposition, la fonction de courant combinée est:

sin ln

tourbillon

uniforme

U r K r

ψ = Ψ + ψ =

_∞

θ −

Les composants de vitesse de l’écoulement sont donnés par:

v

_r

= 1 r

∂ ψ

∂ θ ^{= U}

^∞

^cos θ v

_θ

= − ∂ ψ

∂ r = − U

_∞

sin θ + K r

Pour

v

_r= 0 et

v

_θ = 0, nous obtenons le point de stagnation à

θ

= 90˚, r = a = K/ U_∞

^ou

(x,y) = (0,a).

À ce point, la vitesse de tourbillon dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, K/r, et la vitesse de l’écoulement libre, U_∞ s’annulent. Figure 5.8 montre le tracé des lignes de courant de cet écoulement.

Fig. 5.8 Ecoulement uniforme + tourbillon Une Rangée Infinie de Tourbillons

Considérons une rangée infinie de tourbillons d’une intensité identique K et espacés comme montrés à la figure 5.9. Un seul tourbillon, i, a une fonction de

courant donnée par Ψ_i = −K ln r_i et la rangée infinie totale a une fonction de courant combinée :

Ψ = −K lnr

_i

i=1

∞∑

La somme infinie peut être exprimée aussi comme :

ψ = − 1

2 K ln 1

2 cosh 2 π y

a − cosh 2 π x a

⎛ ⎝ ⎞

⎡ ⎠

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥

Fig. 5.9 : Superposition de tourbillons :

(a) une rangée infinie de tourbillons avec une intensité identique;

(b) les lignes de courant pour (a);

(c) couche de tourbillon, vue de loin de (b).

Fig. 5.9 Superposition de tourbillons L’écoulement à gauche et à droit, et en haut et en bas de la rangée infinie de tourbillon est donné par:

u = ∂ ψ

∂ y

_y>a

= ± π K a

Couche Tourbillonnaire

L’écoulement de Fig. b vu de loin apparaîtra comme un écoulement uniforme à côté gauche et à côté droit montré à la figure 5.9 c. Les tourbillons sont très serrés

et en conséquence ils apparaissent comme une couche continue. L’intensité de la couche tourbillonnaire est donnée par :

γ = 2 π K

En général, la circulation est reliée à l’intensité, γ, par dΓ = γ dx, donc, l’intensité,

a

γ , d’une couche tourbillonnaire est égale à la circulation par unité de longueur, dΓ/dx.

Dipôle

C’est obtenu par la superposition d’une source placée au (-a,0) et d’un puits avec la même intensité au (+a,0), et puis en prenant la limite de fonction de courant pour a tendant vers zéro. On obtient ainsi pour la fonction de courant et la fonction de potentiel en coordonnées cartésiennes :

2

2 y

x y

= +

Ψ

λ

et 2 2

y x

x

= +

Φ

λ

Où λ = 2a m est l’intensité du dipôle. Les lignes de courant sont des cercles tangents à l’axe x, tandis que les lignes potentielles sont des lignes orthogonales aux lignes de courant comme on peut voir à la figure 5.10.

Fig.5.10 Dipôle

Problème : On donne deux sources avec la même intensité à A (x = 0,y = 0) et B (x = 2,y = 0), et puis, un puits à C (x = 0,y = 2). (a) Déterminez la grandeur et la direction de la vitesse de fluide à un point D (x = 5,y = 0) si les débits des sources sont 0.5 m³/s/m et celui du puits est de 1 m³/s/m. (b) Tracez quelques lignes de courant. Rép. : (a) V (x = 5,y = 0) = 0.0185 m/s avec un angle de 36.4^o de l’axe x.

(b) On obtient la figure 5.11.

Fig. 5.11 Deux sources + un puits V.4 Ecoulement Plan et les Corps Solides

En utilisant le principe de superposition de l’écoulement homogène et parallèle avec sources, puits, et tourbillons, nous pouvons construire divers types

d’écoulement externe autour de corps pratiques.

Point Important: La forme de corps sera fermée si le débit entrant au puits et le débit sortant de la source est identique. Deux exemples suivants sont présentés : l’ovale de Rankine et l’écoulement autour d’un cylindre.

Exemple : L’ovale de Rankine Un ovale de Rankine est une forme cylindrique longue en comparaison de sa hauteur. Il est formé par un pair de source-puits aligné avec un écoulement plan, homogène et parallèle.

Les écoulements individuels pour produire l’ovale de Rankine sont montrés à la figure 5.12. La fonction de courant combinée est donnée par

ψ = U

_∞

y − m tan

⁻¹

2 a y x

²

+ y

²

− a

²

ou

ψ = U

_∞

r sin θ + m ( θ

₁

− θ

₂

)

Fig. 5.12 Ovale de Rankine

Le corps d’une forme ovale est une ligne de courant

ψ = 0

. Les points de stagnation sont en avant et en arrière de l’ovale,

x = ± L , y = 0

. Les points de vitesse maximum et minimum et la pression minimum sont aux dos

x = 0, y = ± h

. Les paramètres géométriques importants de l’ovale de Rankine peuvent être exprimés comme suit:

h

a = cot h / a

2 m / ( U

_∞

a ) ^{a L = 1 + U 2}

∞

^m a

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

1/ 2

u

_max

U

_∞

= 1 + 2 m / ( U

_∞

a )

1 + h

²

/ a

²

Comme la valeur du paramètre de

m / ( U

_∞

a )

est augmentée de zéro, la forme de l’ovale augmente en grandeur et elle transforme d’une plaque plane à une forme circulaire cylindrique à la limite pour le cas de

m / ( U

_∞

a ) ^{= ∞}

^.

Les valeurs spécifiques de ces paramètres sont présentées à la table 5.1 pour quatre valeurs différentes de l’intensité sans dimension de tourbillon,

K / ( U

_∞

a )

^.

Table 5.1 : Paramètres de l’Ovale de Rankine

m / ( U

_∞

a ) ^{h / a L / a L / h u}

^max

^{/ U}

^∞

0.0 0.0 1.0 ∞ 1.0

0.01 0.31 1.10 32.79 1.020

0.1 0.263 1.095 4.169 1.187

1.0 1.307 1.732 1.326 1.739

10.0 4.435 4.458 1.033 1.968

10.0 14.130 14.177 1.003 1.997

∞ ∞ ∞ 1.000 2.000

Exemple : L’Ecoulement avec Circulation Autour d’un Cylindre

Nous pouvons voir du tableau que comme l’intensité de source m devient grande, l’ovale de Rankine devient un grand cercle, beaucoup plus grand que l’espacement de 2a du pair de source – puits. Par rapport à l’échelle du cercle, c’est équivalent à un écoulement uniforme plus un dipôle. Pour ajouter une circulation sans changer

la forme du cylindre on place un tourbillon au centre de dipôle. Ainsi, la fonction de courant est donnée par :

ψ = U

_∞

sin θ r − a

²

r

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ − K ln r a

Résultats typiques sont montrés à la figure 5.13 pour les valeurs croissantes de l’intensité sans dimension de tourbillon,

K / U

_∞

a

.

Fig. 5.13 Ecoulement autour d’un cylindre avec circulation pour les valeurs de

K / U

_∞

a

: (a) 0, (b) 1.0, (c) 2.0, et (d) 3.0

Une fois encore, la ligne de courant Ψ correspond au cercle r = a. Comme la circulation est dans le sens inverse des aiguilles d’une montre,

Γ = 2 π K

augmente, les vitesses au-dessous du cylindre augmentent et celles au-dessus du cylindre diminuent. Dans les coordonnées polaires, les composants de vitesse sont donnés par :

v

_r

= 1 r

∂ ψ

∂ θ ^{= U}

^∞

^cos θ 1 − a

²

r

²

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ v

_θ

= − ∂ ψ

∂ r = − U

_∞

sin θ 1 + a

²

r

²

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ + K

r

Pour petit K, deux points de stagnation apparaissent sur la surface à angles

θ

_s ^:

sin θ

_s

= K

2 U

_∞

a

Ainsi pour K = 0,

θ

_s = 0 et 180^o. Pour

K / U

_∞

a

= 1,

θ

_s = 30 et 150^o. Figure 5.13 c montre le cas limite pour lequel

θ

_s ^{= 90o avec}

K / U

_∞

a

= 2, et deux points de stagnation sont en haut du cylindre.

Problème : Un écoulement en 2-D, incompressible, irrotationnel soit obtenu par superposition d’un dipôle et d’un écoulement parallèle homogène. Déterminez (a) Ψ et Φ, (b) le champs de vitesse, (c) les point de stagnation, (d) la surface du cylindre, (e) la distribution de pression sur la surface.

V. 5 Le Théorème de Kutta-Joukowski

En utilisant la théorie de l'écoulement potentiel Kutta et Joukowski ont montré que:

La portance par unité de profondeur d’un cylindre d’une forme quelconque immergé dans un écoulement uniforme est égale à ρU_∞Γ où Γest la circulation nette totale dans la forme du corps. La direction de la portance est à 90^o de la direction de l’écoulement, en rotation contraire à la circulation.

C’est le théorème de portance de Kutta et Joukowski.

Pour le cylindre montré à la figure 5.13 b à d, il y a une force vers le bas, ou une portance négative, proportionnelle à la vitesse de l’écoulement libre et à l’intensité de tourbillon. La distribution de pression surfacique est donnée par :

( )

1 2 2

2 1 4 sin 4 sin Ps =P_∞ + ρU_∞ − θ + β θ β− ²

Où β = K / (U_∞ a) et P_∞ = pression de l’écoulement libre. Pour cylindre de largeur b, le frottement D est donné par :

D= −∫^2π

(

P −P_∞

)

cosθbadθ

La portance L est normale à l’écoulement libre et elle est égale à la somme des forces de pression verticales pour l’écoulement sans friction ; elle est déterminée par :

L = −∫₀^2π

(

P_s −P_∞

)

sinθbadθ

En substituant Ps – P de l’équation précédente, la portance est donnée par : _∞ L = −1

2ρU_∞² 4K

aU_∞b a∫₀^2πsin²θdθ= −ρU_∞

(

2πK

)

b

ou L

b = −ρU_∞Γ