TS1 DM1 de mathématiques à rendre le 20 septembre 2010
exercice 1
On considère la fonction f définie sur ]-‐∞ ;6[ par : f(x)= 9 6−x On définit, pour tout entier naturel n , la suite (un) par : u0 =−3
un+1 = f(un)
⎧⎨
⎩
1. Tracer sur le même dessin (éventuellement avec geogebra) : -‐ la courbe représentative de f
-‐ la droite d’équation y = x
2. Construire à l’aide de ces deux courbes, les premiers termes de la suite (un) sur l’axe des abscisses. Quelles conjectures peut-‐on formuler en ce qui concerne le sens de variation et la convergence éventuelle de la suite (un) ?
3. On considère la suite (vn) définie par vn = 1 un−3
a. Démontrer que la suite (vn) est une suite arithmétique b. Déterminer vn, puis un en fonction de n
c. Déterminer la limite de la suite (un)
exercice 2 : Etude d’une suite récurrente
Soit f la fonction définie sur [-‐1 ;+∞[ par f(x)= 1+x 2 1. Etudier les variations de f
2. Soit (un) la suite définie par u0 = 1 2 un+1= f(un)
⎧
⎨⎪
⎩⎪
a. Démontrer que pour naturel n, on a : 0 < un < un+1 < 1 b. En déduire que la suite (un) converge
c. Démontrer que, pour tout naturel n , on a : un+1−1= 1 2
un−1 1+un
2 +1
d. En déduire que pour tout naturel n , on a : un+1−1 ≤ 1
2 un−1 e. En déduire que, pour tout n ∈ , un −1 ≤ 1
2
⎛⎝⎜ ⎞
⎠⎟
n
u0 −1 f. En déduire la limite de la suite (un)
correction exercice 1
On considère la fonction f définie sur ]-‐∞ ;6[ par : f(x)= 9 6−x On définit, pour tout entier naturel n , la suite (un) par : u0 =−3
un+1 = f(un)
⎧⎨
⎩
1. et 2.
La suite semble croissante et converger vers 3.
méthode utilisée : construction graphique d’une suite un+1 = f(un) - on trace la courbe de f
- on trace la droite d’équation y = x
- Avec un sur l’axe (Ox) , on construit un+1 = f(un) sur l’axe (Oy) - On rabat un+1 sur (Ox) avec la droite y = x
3. a. vn+1 = 1
un+1−3= 1 9 6−un −3
= 6−un
9−3(6−un)= 6−un
−9+3un
donc vn+1−vn = 6−un
3(un−3)− 1
un−3= 6−un −3
3(un −3) = 3−un
3(un −3)=−1 3 et (vn) est une suite arithmétique de raison −1
3
Pour montrer que (vn) est arithmétique, on montre que vn+1 – vn est constant, égale à r.
Ensuite on peut écrire que vn = v0 + nr b. v0 = 1
u0−3=−1
6, donc vn =−1 6−1
3n= −2n−1
6 et un = 1
vn +3=− 6
2n+1+3= 6n−3 2n+1 De vn = 1
un −3, en prenant l’inverse on obtient facilement un en fonction de vn
c. un = 6− 3 n 2+1 n
donc (un) a pour limite 3
Pour déterminer une limite d’une fonction en +∞ (donc la limite d’une suite) qui s’exprime comme quotient de deux polynômes, on factorise le numérateur et le dénominateur par les termes de plus haut degré. Ici , on factorise les deux par n.
exercice 2 : Etude d’une suite récurrente 1. La fonction : x1+x
2 est croissante de [-‐1 ;+∞[ , à valeurs dans [0 ;+∞[
La fonction : x xest croissante sur [0 ;+∞[
Par composée de deux fonctions croissantes , f est croissante sur [-‐1 ;+∞[
On pouvait dériver la fonction : si f(x) = ax+b alors f ’(x) = a 2 ax+b
Ici f'(x)= 1
4 x+1 2
2. a. On considère la propriété dépendant du naturel n : P(n) : « 0 < un < un+1 < 1 » u0 = 1
2 et u1 = 3
2 donc 0 < u0 < u1 < 1 et P(0) est vraie Supposons que pour un certain entier n ≥ 0 , P(n) soit vraie :
pour cet entier n , 0 < un < un+1 < 1 et en utilisant la croissance de f sur ]-‐1 ;+∞[
f(0) < f(un) < f(un+1) < f(1) soit 0 < 2
2 <un+1 <un+2 <1 et P(n+1) est vraie
On a montré par récurrence que P(n) est vraie pour tout naturel n.
Le plus efficace pour démontrer la variation d’une suite un+1 = f(un) est d’utiliser la
croissance de f (généralement prouvé dans une question précédente) . La suite (un) dans ce cas est monotone (décroissante ou croissante). Si f n’est croissante que sur [a ; b] , on démontre souvent par récurrence , la propriété : « a ≤ un ≤ un+1 ≤ b » ou a ≤ un+1 ≤ un ≤ b » Parfois un encadrement de un évite la récurrence en permettant de déterminer directement le signe de un+1 – un.
b. On en déduit que la suite (un) est croissante et majorée par 1, donc convergente.
c. un+1−1= 1+un 2 −1=
1+un 2 −1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1+un 2 +1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1+un 2 +1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
1+un 2 −1 1+un
2 +1
= 1 2
un−1 1+un
2 +1 Souvent avec les expressions de la forme a− b, on utilise (pour des calculs de limites, des variations, des études de signe) la forme conjuguée a+ b
(
a− b) (
a+ b)
=a−b ou(
a− b)
= aa−+bbd. un+1−1 = 1 2
un −1 1+un
2 +1
en utilisant |AB| = |A|×|B| et A B = A
B 1+un
2 +1≥1 donc 1 1+un
2 +1
≤1 , donc 1 2
un −1 1+un
2 +1
≤ 1
2 un −1
e. P(n) : « un−1 ≤ 1 2
⎛⎝⎜ ⎞
⎠⎟
n
u0 −1 »
P(0) est vraie . On suppose P(n) vraie pour un certain entier n ≥ 0 un −1 ≤ 1
2
⎛⎝⎜ ⎞
⎠⎟
n
u0 −1 ⇒ un+1−1 ≤1
2 un −1 ≤1 2
1 2
⎛⎝⎜ ⎞
⎠⎟
n
u0 −1 = 1 2
⎛⎝⎜ ⎞
⎠⎟
n+1
u0 −1 Et P(n+1) est vraie
f. On déduit l’encadrement , (si k > 0 : |A| < k ⇔ -‐ k < A < k)
g.
− 1 2
⎛⎝⎜ ⎞
⎠⎟
n
u0−1 ≤un −1≤ 1 2
⎛⎝⎜ ⎞
⎠⎟
n
u0 −1
donc d’après le théorème des gendarmes , lim u n – 1 = 0 , donc lim un = 1
On peut aussi utiliser lim |un| = 0 ⇔ lim un = 0 et lim (un – L) = 0 ⇔ lim un = L 0 ≤ un−1 ≤ 1
2
⎛⎝⎜ ⎞
⎠⎟
n
u0−1⇒ lim |un - 1| = 0 ⇒ lim (un – 1) = 0 ⇒ lim un = 1
