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u = u + 2 n − 1 { u = 1

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Academic year: 2022

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(1)

1/2 -

Activité d'approche n°1 : construction du raisonnement par récurrence.

On considère la suite définie par

{ u

n+1

=u u

0n

=1 +2 n−1

1. Calculer les trois premiers termes de la suite.

…...

...

...…

2. À l'aide d'un tableur ou d'une calculatrice, afficher les termes de la suite de u0 à u11

…...

...

...

...

...

...

3. Représenter graphiquement l'ensemble des points (n;

u

n) pour n ∈[0;11] :

4. Conjecturer l’expression de

u

n en fonction de n. Vérifier cette conjecture pour des grandes valeurs de n (par

exemple : n = 100, n= 557 …)

…...…

...…

...…

...…………..………...

…...…

...…

...…

..………...

5. On définit, pour tout entier

n, la propriété P(n) par :

u

n

=(n – 1)2.

a. Qu'est-ce que l'étude précédente laisse penser de la propriété P ?

1/2

(2)

2/2 -

…...

…...

b. Démontrer, en utilisant la définition de la suite donnée au départ, que, si P(n)

est vraie, alors P(n+1) est aussi vraie (on dit que P est héréditaire) :

…...

…...

...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

c. Démontrer que P(0) est vraie.

…...

…...

…...

…...

d. On sait maintenant que P(0) est vraie, et que, si P(n) est vraie, alors P(n+1)

est aussi vraie. Que peut-on en déduire, et pourquoi ?

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...…

2/2

Références

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Une suite ( u n ) est dite majorée (respectivement minorée) s'il existe un réel M , tel que, pour tout n,... (respectivement

n  0  u  #2 u n  u  [0;1] u  [0;1] u  [0;1] u  1 u  [0;1] 1 – u  [0;1] 0  u ₁ u ₂ Partie A

[2] Attention : cette question est à rendre par mail (e-lyco ou olivier.jaccomard@ac- nantes.fr), en envoyant le fichier fait sous Algobox (et donc pas un pdf, un doc, ou un

y = x () () () () () () () () () () () () () () u u u u u u u u u u = = 1 0 5 O O O O O O O O O x y y x y x y x x u u u u u = = = fu fu fu u 1 1 1 1 0 0 2 2 0 0 = 2 u + 6 1 2 n n n + 1 0 1 n n + 1 n u = + 1 n + 1 u n

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() () () () () () () u S = 4 14 1320 34 34 P H S u u u u S S − n ⎛⎝⎜⎞⎠⎟ ()= u u PH = = 1 + u + S = u + u + ... + u = u ∑ n

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