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Cours n°1 : Convergences des suites monotones I) Convergences des suites monotones
Définition n°1
Une suite
(
un)
est dite majorée (respectivement minorée) s'il existe un réelM
, tel que, pour toutn,...
(respectivement…...
)Propriété n°1
Si une suite
(
un)
est croissante (respectivement décroissante) et converge vers un nombre réell,
alors la suite(
un)
est …...(…...) Autrement dit :
Une suite croissante et convergente est …...
Une suite décroissante et convergente est …...
Démonstration (R.O.C.) : (par l'absurde)
Choisissons une suite
(
un)
croissante et convergente vers un nombre l Supposons que(
un)
ne soit pas majorée.(
un)
converge vers l: Il existen
1 tel que,quelque soit ……….,
u
n appartient à l'intervalle]
l– 1;
l+ 1[ .
(1)(
un)
est non majorée, donc, quelque soit le nombre réelA
choisi, il existe au moins un n0 tel que, un0 est...…
Choisissons
A =
l+2:
un0… ……….
(2) Deux cas :Si le rang
n
0> n
1 :D'après (1): un0appartient aussi à ……….., donc
u
n0 <……D'après (2) : un0
> ……….
C'est contradictoire
!
Donc notre supposition est………..
.Donc
(
un)
est ………Si le rang
n
0< n
1, (2) donne un0… ……….
et (1) implique que un1… ……….
.Donc
u
n0… u
n1(3)
Mais
(
un)
est ………. C'est contradictoire!
Donc notre supposition est………
Donc(
un)
est ………Exemple n°1
On donne la suite
(
un)
définie par un= 1n² . Est-elle majorée? Minorée ?
...
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Propriété n°2 (admise)
Une suite croissante et majorée …...
Une suite …... et minorée …...
Propriété n°3
Une suite convergente est …...
(Donc une suite non bornée est …...) Démonstration :
lim
n→+∞un=l Donc, il existe un rang
n
0 à partir duquel…...
…...
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Exemple n°2
On donne la suite
(
un)
définie par u0= 75
et un+1=0,6un+50. 1. Démontrer que, pour tout entiern,
un<un+1⩽125....
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2. En déduire que
(
un)
que est convergente....
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3/3 - Chap.
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...…
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