n  0  u  #2 u n  u  [0;1] u  [0;1] u  [0;1] u  1 u  [0;1] 1 – u  [0;1] 0  u ₁ u ₂ Partie A

(1)

1/4 -

DM 5c – à rendre pour le lundi 22 janvier. (/13)

Partie A

Soit la suite

/se{u_0=/t{0,2;0,4;0,5;0,6;0,7;0,8};u_{:n+1}=/t{0,2;0,4;0,5;0,6;0,7;0,8}u_n(1- u_n)}

1.^[0.5] Calculer

u₁

et

u₂

. /.

/.

2.^[0.5] a. Montrer que : si

u

n

 [0;1]

, alors

1 – u

n

 [0;1]

. (On partira de l’inégalité

0  u

n

 1

).

/.

b.^[1] Montrer que : si

u

n

 [0;1]

, alors

u

n+1

 [0;1]

. /.

/.

c.^[1] En déduire que, pour tout

n 

N,

u

n

 [0;1]

. /.

/.

d.^[1] Montrer que, pour tout entier

n 

N,

0  u

n+1

 #2u

n. /.

/.

1/4

(2)

2/4 - /.

/.

e.^[1] Montrer que, pour tout entier

n 

N,

0  u

n+1

 #1 × #2

ⁿ. /.

/.

f.^[1] Que peut-on dire de la suite

w

n

= #1 × #2

ⁿ ? En déduire /lim{n;+ ∞;u_n}, en utilisant le théorème adéquat.

/.

g.^[2] Attention : cette question est à rendre par mail (e-lyco ou olivier.jaccomard@ac- nantes.fr), en envoyant le fichier fait sous Algobox (et donc pas un pdf, un doc, ou un odt). On indiquera dans le nom du fichier son nom, son prénom. On

indiquera dans le mail la suite étudiée.

Construire un algorithme qui permette de savoir à partir de quel rang les termes de la suite (

u

n

)

sont plus petits que /calc{#1/1000}.

Partie B

Soit la suite (

v

n

)

définie par :

/se{v_0=1,07;v_{n+1}=/t{5,02;5,04;5,06;5,08;5,1;5,12;5,14;5,16;5,18}-/f{16;v_n+

3}}

a.^[0.5] Quelle fonction permettant de calculer

v

n+1 à partir de

v

n peut-on définir ? /.

/.

b.^[1] Étudier les variations de cette fonction entre

1

et

2

. /.

2/4

(3)

3/4 - /.

/.

c.^[1] Calculer

f(2)

et

f(1)

, et vérifier que ces deux images appartiennent toujours à l’intervalle

[1;2].

/.

d.^[1] Montrer par récurrence que

1  v

n

 2

. (on utilisera entre autre le résultat de la question précédente).

/.

3/4

(4)

4/4 - /.

/.

e.^[1] Étudier le sens de variation de la suite

(v

n

)

(On raisonnera par récurrence, et on utilisera la fonction et l’une des réponses précédentes).

/.

f.^[0.5] La suite

(v

n

)

est-elle convergente ? Justifier.

/.

4/4