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n -#1< u <#1. u ≥ u u ≤ u u ≤ u u ≥ u n x ≥ 0 ]- x ;0[ f ( x )+ x ≤ 0 x ]0; x [ f ( x )+ f + (u ) u = f(u ) u = /calc{#1/2}. f ( x ) =/f{1;3}x^3 -/t{0,36;0,49;0,64;0,81}x DM n°3c

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Academic year: 2022

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(1)

1/1 - Chap.

DM n°3c Exercice [12 pts]

Soit la fonction f définie par : $ f(x)=/f{1;3}x^3 -/t{0,36;0,49;0,64;0,81}x $.

On définit la suite (u

n

) par u

n+1

= f(u

n

) et u

0

= /calc{#1/2}.

1.

[6,5]

Étudier les variations de f . On justifiera aussi les limites en + : et en -:.

2.

[1.5]

Soit x

2

= $1,5 sqrt{ 4 over 3 times /calc{1+#1}}$. Montrer que, sur ]0; x

2

[ , f(x) +x ≥ 0 et que, sur ]-x

2

;0[ , f(x)+x ≤ 0 .

3.

[2]

Montrer que, pour tout entier naturel n : si u

n+1

≤ u

n

, alors u

n+2

≥ u

n+1

.

si u

n+1

≥ u

n

, alors u

n+2

≤ u

n+1

.

4.

[2]

Montrer que, pour tout entier naturel n , -#1<u

n

<#1.

1/1

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