Universit´e de Rouen M1 MFA
Ann´ee 2006-2007
´Equations aux d´eriv´ees partielles et analyse num´erique Controle continu du 4 d´ecembre 2006, dur´ee 2h
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Exercice 1. Le but est d´emontrer un principe du maximum pour les solutions faibles en dimension 1. On poseI=]0, 1[.
On rappelle que siu∈H1(I)alorsuadmet un repr´esentant dansC (I). On identifiera syst´ematiquement udansH1(I)et son repr´esentant continue surI.
On rappelle aussi une cons´equence du principe du maximum pour les solutions classiques, siu ∈ C2(I) ∩ C (I)est une solution classique du probl`eme−u′′+u= f dansIetu(0) =u(1) =0 alorsu(x) ≥0 pour toutxdansI.
On consid`ere le probl`eme suivant, pour f dansL2(I),
(P(f)) −u′′+u= f dansI, u(0) =u(1) =0.
(a) Donner la formulation variationnelle, not´ee(P(f))V, de(P(f)).
(b) D´emontrer que pour tout f dansL2(I)le probl`eme(P(f))V admet une unique solutionudans H01(I)(bien pr´eciser l’espace de Hilbert ainsi que le produit scalaire dont il est muni, la forme lin´eaire et la forme bilin´eaire).
(c) Soit f ∈ C (I). CommeC (I) ⊂ L2(I), soitu∈H10(I)l’unique solution de(P(f))V. Le but est de montrer que la solution variationnelleuest aussi une solution classique.
-i- Montrer queu′est dansH1(I)[indication : on pourra utiliser la formulation variationnelle pour obtenir :∀φ∈ C0∞(I) ∫Iu′(x)φ′(x)dx= − ∫Ig(x)φ(x)dx, avecg∈L2(I)en pr´ecisantg en fonction deuetf.]
-ii- On noteu′′la d´eriv´ee faible deu′. Montrer queu′′=u−f presque partout dansI.
-iii- En d´eduire queu′∈ C (I), puis queu∈ C1(I).
-iv- Pr´eciser l’espace auquel appartientu−f. En d´eduire queu′′admet un repr´esentantC (I). On identifieu′′et ce pr´esentant.
-v- Conclure queu∈ C2(I) ∩ C (I)et queuest une solution classique de−u′′+u = f dansIet u(0) =u(1) =0.
(d) Soit f ∈L2(I)avecf ≥0 presque partout dansI. Soient(fn)une suite dansC (I)telle que fn ≥0 sur Ietfn → f dansL2(I)quandn→ +∞. On noteunla solution du probl`eme variationnel(P(fn))V etula solution du probl`eme variationnel(P(f))V.
-i- Montrer queunconverge versudansH10(I)quandntend vers l’infini.
-ii- A l’aide de la question (c) montrer queun ≥0.
-iii- Montrer queu≥0 presque partout dansI[indication : utiliser (et justifier le fait que l’on puisse extraire) une sous suite de(un), not´ee(unk)qui converge presque partout versuet utiliser (d)-ii-.]
Question bonus. Montrer que si f ∈L2(I)avec f ≥0 presque partout dansIalors il existe une suite fn dansC (I)telle que fn≥0 surIetfn → f dansL2(I)quandn→ +∞.
Exercice 2. On poseI =]0, 1[. On consid`ere l’espace (de Hilbert)H10(I)muni du produit scalaire(u,v) =
∫Iu′(x)v′(x)dx (possible d’apr`es l’in´egalit´e de Poincar´e). Soient f ∈ L2(I)etc ∈ L∞(I). Soit la forme bilin´eaire, not´eea, d´efinie surH10(I)par,∀u,v∈H01(I),
a(u,v) = ∫
Iu′(x)v′(x)dx+ ∫
Ic(x)u(x)v(x)dx.
On suppose quec(x) ≥c0presque partout dansI(mais rien sur le signe dec0). Le but est de d´emontrer qu’il existe α < 0 tel que si c0 ∈]α,+∞[alors il existe une unique solution du probl`eme variationnel a(u,v) = ∫I f(x)v(x)dx,∀v∈H10(I).
1
2
(a) Soitu∈ C0∞(I). -i- Montrer que
u(x) = ∫ x
0 u′(s)ds, u(x) = ∫ x
1 u′(s)ds.
-ii- En d´eduire que
∣u(x)∣ ≤ 1 2∫
1 0
∣u′(s)∣ds.
-iii- En d´eduire que
∫
1
0 u2(x)dx≤ 1 4∫
1 0
(u′(s))2ds.
(b) Soitu∈H10(I). Montrer en utilisant la question (a)-iii- que
(1) ∥u∥L2(I)≤ 1
2∥u′∥L2(I).
(c) Montrer queaest une forme bilin´eaire sym´etrique continue surH10(I). (d) Montrer en utilisant (1) que sic0<0 alors pour toutu∈H01(I)on a
(2) a(u,u) ≥ (1+c0
4) ∫
I
(u′(x))2dx.
(e) Montrer que sic0> −4 alors le probl`eme variationnela(u,v) = ∫I f(x)v(x)dx, pour toutv ∈H01(I), admet une unique solutionudansH01(I).