Dérivées de fonctions composées Si u dérivable sur Iv dérivable sur J intervallepour tout x ˛˛˛˛ I , u(x) ˛˛˛˛ J alors v o u est dérivable sur I et (v o u)' = (v' o u) ···· u' Si u est dérivable sur I , alors pour tout naturel n , u

Dérivées de fonctions composées

Si u dérivable sur I

v dérivable sur J intervalle

pour tout x ∈∈∈∈ I , u(x) ∈∈∈∈ J alors v o u est dérivable sur I et (v o u)' = (v' o u) ×××× u' Si u est dérivable sur I , alors pour tout naturel n , uⁿ est dérivable sur I et (uⁿ)' = nuⁿ⁻⁻⁻⁻¹ u' formule qui s'étend à n entier quelconque si u ne s'annule pas sur I

Si u est dérivable et strictement positive sur I , alors u et ln u sont dérivables sur I ( u)' = u'

2 u et (ln u)' = u' u

Si u est dérivable sur I , sin u , cos u et e^u sont dérivables sur I (sin u)' = u' cos u , (cos u)' = −−−− u' sin u , (e^u)' = u' e^u

exemples : dériver les fonctions sur leur ensemble de dérivabilité I f(x) = (4x² + 5x + 3)⁵

-

poser f = u

avec u(x) = 4x² + 5x + 3

montrer que I = R

-

calculer f '

(4x + 3)³

-

poser g = u

avec u(x) = 4x + 3

montrer que I = R \ { 4

3 }

h(x) = 4x² + 1

-

poser h = u avec u(x) = 4x² + 1

montrer que h est dérivable sur R

k(x) = ex² + 5x – 1

-

poser k = e

avec u(x) = x² + 5x − 1

montrer que k est dérivable sur R

calculer k'

l(x) = ln(x² − 1)

-

poser l = ln u avec u(x) = x² − 1

déterminer I

-

calculer l'







 x + 1 2x − 1

exercice 1

Soit f la fonction définie sur R par



f(x) = x² sin







 1

x si x ≠ 0 f(0) = 0

1. f est-elle continue sur R ?

2. f est-elle dérivable sur R ? Déterminer f ' . 3. f ' est-elle continue en 0 ?

exercice 2

Calculer les dérivées de ;

f(x) = sin(x² + 1) g(x) = cos







 1

x k(x) = 5x⁷ − 3x² + 4

x − 5

x⁴ + 7 cos x+ 6 x l(x) = cos(3x + 1) − 4sin(2x)

exercice 3

Calculer la dérivée de la fonction f définie par f(x) = (4x + 1)⁵(3x + 1)⁷ (− 2x + 3)³

exercice 4

Montrer que la fonction f : x → 1 − x² est dérivable sur ]−1 ; 1[ et calculer f '(x)

exercice 5 Calculer lim

x → 3

x + 6 − 3 x − 3

exercice 6

Calculer la dérivée de la fonction h définie par h(x) = x + 1

x − 1 après avoir déterminé son ensemble de dérivabilité.