" L " " " " 1jC 1C R 1jC 1tan + 1 R L R + jL " 0 % ( B B B u u u u u u u v v 1C 0 x y y x y x y 1 2 # L " 0 () () R + R 2 + j.L # $ " () ' * 1C 0 " 2 2 2 R " " .L " " + R " 0 0 2 0 # & ) # $ 0 0 # 0 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !

(1)

1

RÉGIME SINUSOIDAL - NOTION D’IMPÉDANCE - corrigé des exercices

I. Réalisation d'un champ tournant

1.

• La première bobine crée un champ magnétique :

!

B₁ = B_m cos(ω₀t)

!

u_x (par symétrie, le champ créé sur l'axe de la bobine est parallèle à l'axe Ox ; en outre, il est proportionnel au courant dans la bobine).

• La seconde bobine crée un champ de même norme maximum B_m (les bobines, les courants et les distances sont les mêmes), mais perpendiculaire au précédent et en avance de

!

"

2 (avec un signe ± car le sens des courants dans les bobines nʼest pas précisé) :

!

B₂ = ±B_m cos(ω₀t +

!

"

2⁾

!

u_y = ±B_m sin(ω₀t)

!

u_y.

• Le champ total est donc :

!

B = B_m [cos(ω₀t)

!

u_x ± sin(ω₀t)

!

u_y] = B_m

!

v orienté selon le vecteur uni- taire

!

v = cos(ω₀t)

!

u_x ± sin(ω₀t)

!

u_y qui tourne à la vitesse angulaire ±ω₀.

2.

• Puisque la tension appliquée aux deux branches est la même, les conditions précédentes imposent pour celles-ci des impédances complexes :

◊ de même module :

!

R+jL"₀ =

!

R+R "+j. L#₀$ 1 C#₀

%

&

' (

)* ;

◊ déphasées de

!

"

2^{: tan(φ}¹^{) = -}

!

1

tan

( )

"₂ ce qui peut s'écrire :

!

L"₀ R ^{= -}

!

R+R "

L#₀$ 1 C#₀

.

• La résolution du système d'équations donne : Lω₀ = R+Rʼ et R =

!

1

C"₀#L"₀ dʼoù on déduit : C =

=

!

1

"₀. L"

(

₀+R

)

et Rʼ = Lω₀ - R.

◊ remarque : on constate en particulier que le montage n'est possible que si R ≤ Lω₀.

II. Pont de Wheatstone en régime alternatif

1.

• La condition “usuelle” d'équilibre du pont correspond à : Z₁Z₄ = Z₂Z₃ avec les notations suivantes :

• Dans le cas étudié ici, cela correspond à : (jLω)² =

!

1 jC"

( )

² c'est-à-dire à : (LCω²)² = 1, ce qui est vérifié. Par conséquent, il peut sembler logique de considérer que i = 0 dans Z₅ = R.

2.

• Compte tenu de la symétrie centrale (Z₁ = Z₄ = jLω et Z₂ = Z₃ =

!

1

jC"), le courant est le même respectivement dans les deux bobines et dans les deux condensateurs.

(2)

2

• En appliquant la loi des mailles, compte tenu de la condition donnée par l'énoncé (jLω = -

!

1

jC"), on obtient : -e - jLω.(iʼ - i) + jLω iʼ = 0 et jLω iʼ + Ri + jLω.(iʼ - i) = 0 ; d'où on déduit : i =

!

e

jC" = -jCω e.

3.

• La contradiction apparente vient du fait qu'on a utilisé sans précaution la condition "usuelle" d'équi- libre du pont ; cette condition correspond en fait à annuler le numérateur de l'expression générale de i, mais cela n'est cohérent que dans les cas où le dénominateur est non nul. Or, le cas présent nécessite de refaire le calcul car la condition d'équilibre correspond à la résonance. C'est donc logiquement la seconde méthode qui aboutit à la bonne réponse dans la mesure où elle reprend un calcul plus complet.

• Pour s'en convaincre, on peut refaire le calcul par une troisième méthode (par exemple à l'aide du théorème de Thévenin), en considérant des bobines de résistances r, puis considérer la limite r → 0. Pour cela, on remplace la partie du réseau complémentaire de R par un générateur de Thévenin de force électro- motrice eʼ et d'impédance Zʼ.

• La f.e.m. eʼ est égale à la tension "à vide" (en l'absence de R) :

Or, la loi des mailles donne : -e + (r + jLω +

!

1

jC") iʼ = 0 d'où on tire : iʼ =

!

e

r. On calcule ensuite : eʼ =

= U_DF = (-r - jLω +

!

1

jC") iʼ = - e

!

r+2jL"

r ^.

• L'impédance Zʼ est égale à l'impédance du même circuit, avec générateur à l'arrêt (e = 0, ce qui correspond à le court-circuiter) :

Or, cette résistance correspond à deux assemblages en série avec pour chacun r + jLω en parallèle avec

!

1

jC" : Zʼ =

!

2 1

r+jL"+jC"

= -2

!

r+jL"

r ^jLω.

• On obtient donc finalement : i =

!

"

e R+ " Z = -e

!

r+2jL"

Rr#2 r

(

+jL"

)

^jL". Dans la limite où r → 0, on obtient : i →

!

e

jL" = -jCω e ; mais il faut noter que dans ces mêmes conditions : eʼ → ∞ et Zʼ → ∞ (d'où le résultat incohérent si on simplifie n'importe comment).

(3)

3

III. Pont en “P/Q” et pont en “PQ”

• Pour le pont en “P/Q”, la condition dʼéquilibre sʼécrit : PZ₀ = QZ, cʼest-à-dire que : Z = Z₀

!

P Q a le même argument que Z₀ ; il sʼagit donc dʼimpédances de même nature.

• Pour le pont en “PQ”, la condition dʼéquilibre sʼécrit : PQ = ZZ₀, cʼest-à-dire que : Z =

!

PQ Z₀ ^{a un} argument de signe contraire à celui de Z₀ ; il sʼagit donc dʼimpédances de nature différente (capacités et inductances).

IV. Équation différentielle

1.a.

• Les relations sont : i_c = i + i₁ + i₂ ; R i =

!

q₁

C = R i₂ +

!

q₂

C ; i₁ = q₁^• ; i₂ = q₂^•.

1.b.

• En éliminant les charges (et en posant τ = RC) : i_c = i + i₁ + i₂ ; τ i^• = i₁ = τ i₂^• + i₂.

• On en déduit l'équation différentielle : τ i_c^• = (τ i₂^• + i₂) + τ.( τ i₂^• + i₂)^• + τ i₂^• qui peut s'écrire en simplifiant : τ² i₂^•• + 3 τ i₂^• + i₂ = 0.

2.a.

• En considérant un pont diviseur de courant : i₂ = i_c

!

Y₂

Y+Y₁+Y₂ avec Y =

!

1

R ; Y₁ = jCω ; Y₂ =

=

!

1 R+ 1

jC"

; c'est-à-dire : i₂ = i_c

!

j"#

( )

²⁺^3j"#⁺¹^.

2.b.

• La relation précédente peut s'écrire :

!

j"#

( )

²+3j"#+1

( )

ⁱ² = jωτ i_c ; mais en régime sinusoïdal la multiplication par jω correspond à une dérivation, donc on retrouve l'équation : τ² i₂^•• + 3 τ i₂^• + i₂ = τ i_c^•.

• Cette équation étant valable pour tout régime sinusoïdal, elle est aussi valable pour tout régime variable ; on peut par précaution vérifier que le régime continu correspond à i₂ = 0 pour le circuit considéré.