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THÉORÈME D’AMPÈRE - corrigé des exercices
A. EXERCICE DE BASE I. Solénoïde torique
1.
• Le solénoïde et le point M considéré sont invariants dans une symétrie par rapport au plan contenant lʼaxe et M, donc!
B (pseudovec- teur) est identique à lʼopposé de son symétrique géométrique.
• Le symétrique géométrique doit donc être égal à lʼopposé de
!
B, ce qui impose au champ
!
B dʼêtre perpendiculaire au plan, cʼest-à-dire :
!
B(r, θ, z) = Bθ(r, z)
!
u" (en coordonnées cylindriques).
2.
• La circulation sur une ligne de champ intérieure (circulaire) est : C = 2πr Bθ = µ0NI où N est le nombre de spires, donc : Bθ(r) =
!
µ0NI 2"r .
• La circulation sur une ligne de champ extérieure (circulaire) est : C = 2πr Bθ = 0, donc : Bθ(r) = 0.
B. EXERCICES D’APPROFONDISSEMENT II. Câble coaxial rectiligne “infini”
• Par symétrie on suppose que le courant dans le conducteur tubulaire est “réparti” uniformément sur la périphérie, et correspond à un mouvement des charges parallèle à lʼaxe.
• Par symétrie, le champ est orthoradial :
!
B(r, θ, z) = Bθ(r, θ, z)
!
u" ; en outre Bθ ne dépend que
de r : Bθ(r, θ, z) = Bθ(r).
• La circulation le long dʼune ligne de champ coaxiale est : C(r) = 2πr Bθ(r) ;
◊ pour r < R : Itot(r) = I et Bθ(r) =
!
µ0I 2"r ;
◊ pour r > R : Itot(r) = 0 et Bθ(r) = 0.
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◊ remarque : on obtient un champ qui tend vers lʼinfini quand on se rapproche du fil, mais en réalité ce der- nier a forcément un diamètre non nul.
◊ remarque : cet exemple, qui constitue une première approche vers lʼutilisation dʼune répartition de courant, montre un intérêt du câble coaxial vis-à-vis de la limitation des effets parasites.
III. Distribution volumique de courant
1.
• Le dispositif est invariant par symétrie selon le plan contenant l'axe et le point M où on calcule le champ, ce dernier (pseudovecteur) doit donc être invariant par antisymétrie :Br
!
ur + Bθ
!
u" + Bz
!
uz = -[Br
!
ur + Bθ.(-
!
u") + Bz
!
uz] = - Br
!
ur + Bθ
!
u" - Bz
!
uz.
• On en déduit que le champ est orthoradial : Br = Bz = 0 et
!
B = Bθ
!
u".
2.
• Les lignes de champ sont des cercles coaxiaux ; l'invariance du câble par translation et rotation selon l'axe impose que la coordonnée ne dépend que de r : Bθ(r, θ, z) = Bθ(r).• La circulation d'un champ sur un tel cercle est : C(r) = 2πr Bθ(r) ;
◊ pour r < R1 : Itot(r) = I
!
"r2
"R12 (le courant “intérieur” est proportionnel à la section “enlacée” par le contour) et Bθ(r) =
!
µ0I 2"
r R12 ;
◊ pour R1 < r < R2 : Itot(r) = I et Bθ(r) =
!
µ0I 2"r ;
◊ pour R2 < r < R3 : Itot(r) = I.
!
1" #r2" #R22
#R32" #R22
$
%
&
&
' (
)) et Bθ(r) =
!
µ0I 2"r
!
R32"r2 R32"R22 ;
◊ pour r > R3 : Itot(r) = 0 et Bθ(r) = 0.
3.
• Les expressions précédentes montrent que le champ est continu à la surface des conducteurs.• Les variations de B(r) = Bθ(r) sont représentées ci- contre.
◊ remarque : cet exemple montre un intérêt du câble coaxial vis-à-vis de la limitation des effets parasites.
IV. Champ magnétique et champ électrostatique 1.
•.2.
•.3.
a).b).