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N I I 0 0 B B B B B u u " " 2 2 " " r r ! ! ! ! ! ! ! ! ! µ µ

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Academic year: 2022

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Texte intégral

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1

THÉORÈME D’AMPÈRE - corrigé des exercices

A. EXERCICE DE BASE I. Solénoïde torique

1.

• Le solénoïde et le point M considéré sont invariants dans une symétrie par rapport au plan contenant lʼaxe et M, donc

!

B (pseudovec- teur) est identique à lʼopposé de son symétrique géométrique.

• Le symétrique géométrique doit donc être égal à lʼopposé de

!

B, ce qui impose au champ

!

B dʼêtre perpendiculaire au plan, cʼest-à-dire :

!

B(r, θ, z) = Bθ(r, z)

!

u" (en coordonnées cylindriques).

2.

• La circulation sur une ligne de champ intérieure (circulaire) est : C = 2πr Bθ = µ0NI où N est le nombre de spires, donc : Bθ(r) =

!

µ0NI 2"r .

• La circulation sur une ligne de champ extérieure (circulaire) est : C = 2πr Bθ = 0, donc : Bθ(r) = 0.

B. EXERCICES D’APPROFONDISSEMENT II. Câble coaxial rectiligne “infini”

• Par symétrie on suppose que le courant dans le conducteur tubulaire est “réparti” uniformément sur la périphérie, et correspond à un mouvement des charges parallèle à lʼaxe.

• Par symétrie, le champ est orthoradial :

!

B(r, θ, z) = Bθ(r, θ, z)

!

u" ; en outre Bθ ne dépend que

de r : Bθ(r, θ, z) = Bθ(r).

• La circulation le long dʼune ligne de champ coaxiale est : C(r) = 2πr Bθ(r) ;

pour r < R : Itot(r) = I et Bθ(r) =

!

µ0I 2"r ;

pour r > R : Itot(r) = 0 et Bθ(r) = 0.

(2)

2

◊ remarque : on obtient un champ qui tend vers lʼinfini quand on se rapproche du fil, mais en réalité ce der- nier a forcément un diamètre non nul.

◊ remarque : cet exemple, qui constitue une première approche vers lʼutilisation dʼune répartition de courant, montre un intérêt du câble coaxial vis-à-vis de la limitation des effets parasites.

III. Distribution volumique de courant

1.

• Le dispositif est invariant par symétrie selon le plan contenant l'axe et le point M où on calcule le champ, ce dernier (pseudovecteur) doit donc être invariant par antisymétrie :

Br

!

ur + Bθ

!

u" + Bz

!

uz = -[Br

!

ur + Bθ.(-

!

u") + Bz

!

uz] = - Br

!

ur + Bθ

!

u" - Bz

!

uz.

• On en déduit que le champ est orthoradial : Br = Bz = 0 et

!

B = Bθ

!

u".

2.

• Les lignes de champ sont des cercles coaxiaux ; l'invariance du câble par translation et rotation selon l'axe impose que la coordonnée ne dépend que de r : Bθ(r, θ, z) = Bθ(r).

• La circulation d'un champ sur un tel cercle est : C(r) = 2πr Bθ(r) ;

pour r < R1 : Itot(r) = I

!

"r2

"R12 (le courant “intérieur” est proportionnel à la section “enlacée” par le contour) et Bθ(r) =

!

µ0I 2"

r R12 ;

pour R1 < r < R2 : Itot(r) = I et Bθ(r) =

!

µ0I 2"r ;

pour R2 < r < R3 : Itot(r) = I.

!

1" #r2" #R22

#R32" #R22

$

%

&

&

' (

)) et Bθ(r) =

!

µ0I 2"r

!

R32"r2 R32"R22 ;

pour r > R3 : Itot(r) = 0 et Bθ(r) = 0.

3.

• Les expressions précédentes montrent que le champ est continu à la surface des conducteurs.

• Les variations de B(r) = Bθ(r) sont représentées ci- contre.

◊ remarque : cet exemple montre un intérêt du câble coaxial vis-à-vis de la limitation des effets parasites.

IV. Champ magnétique et champ électrostatique 1.

•.

2.

•.

3.

a).

b).

V. Champ magnétique d’une sphère chargée en rotation 1.

•.

2.

•.

3.

•.

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