MPSI A - B Année 2015-2016. DS commun 1 le 13/11/15 1 er décembre 2018
Exercice 1.
Soient a, b ∈ R tels que 0 < b < a . On pose : I =
− 1 a , 1
a
, f :
( I → R
x 7→ arcsin(ax) + arccos(bx).
1. Montrer que f est dérivable sur
− 1 a , a 1 . Déterminer f 0 et montrer que f est strictement croissante.
2. Montrer que f réalise une bijection de I vers J avec J =
π
2 − arccos b
a
, π
2 + arccos b
a
3. Soit x ∈ I . Exprimer cos(f (x)) . Montrer que cos(f (x)) est du signe de −x . 4. Soit x ∈ I . Exprimer sin(f (x)) puis montrer que :
cos 2 (f (x)) = x 2 (a 2 + b 2 − 2ab sin(f(x))).
5. Pour tout y ∈ J , déterminer une expression de f −1 (y) . 6. Application : Résoudre les équations :
arcsin 4x
5
+ arccos 3x
5
= 1 et arcsin 4x
5
+ arccos 3x
5
= 0
Exercice 2.
Dans tout ce problème, q > 1 désigne un nombre réel xé.
On note T l'ensemble des couples (n, p) d'entiers naturels tels que 0 ≤ p ≤ n . On admet qu'il existe une unique fonction c dénie dans T vériant :
∀n ∈ N , c(n, 0) = c(n, n) = 1
∀n ∈ N \ {0, 1} , ∀p ∈ J 1, n − 1 K : c(n, p) = q n−p c(n − 1, p − 1) + c(n − 1, p) 1. Présenter dans un tableau les valeurs des c(n, p) pour 0 ≤ p ≤ n ≤ 4 .
2. Démontrer, pour tout x ∈ C et tout naturel non nul n , la relation (1 + x)(1 + qx) · · · (1 + q n−1 x) =
n
X
p=0
c(n, p) q
p(p−1)2x p
3. On note (coecients de Rothe) 1 , pour tous z ∈ C ∗ ,
∀p ∈ N ∗ : z
p
q
= (1 − q z )(1 − q z−1 ) · · · (1 − q z−p+1 ) (1 − q p )(1 − q p−1 ) · · · (1 − q 1 ) ,
z 0
q
= 1.
a. Montrer que n p
q = c(n, p) pour tous les n ∈ N ∗ et p ∈ J 1, n K.
b. Quel est le nombre de facteurs dans le numérateur et le dénominateur d'un coef- cient de Rothe ? Pour n ∈ N ∗ et p ∈ J 1, n K, quelle est la limite de n p
q quand q tend vers 1 ?
c. Pour z ∈ C ∗ et p ∈ N ∗ , préciser en fonction de p et z les exposants A et B tels que
z p
q
= (−1) A q B
p − z − 1 p
q
Exercice 3.
Dans l'intervalle I = 0, π 2
, on dénit des fonctions a et b par :
∀θ ∈ I, a(θ) = θ
tan θ , b(θ) = θ sin θ
0
e iα
1 z
Fig. 1: Interprétation géométrique
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H. A. Rothe (1811) d'après Knuth The Art of Computer Programming, T1, p73
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
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Rémy Nicolai Benoît SaleurS1503EMPSI A - B Année 2015-2016. DS commun 1 le 13/11/15 1 er décembre 2018
1. Encadrement et interprétation géométrique.
a. Montrer que 0 < 2 sin( α 2 ) < tan(α) pour tous les α ∈ I .
b. Pour α ∈ I et z comme sur la gure 1, calculer |e iα − 1| et l'axe z . En déduire une interprétation géométrique de l'inégalité de la question a.
2. La méthode d'Euclide pour approcher π 4 consiste à calculer la longueur du polygone régulier inscrit dans l'arc de cercle (le huitième de cercle) en doublant à chaque fois les points.
(a) initialisation (b) étape 1 (c) étape 2
Fig. 2: Approximation d'Euclide
Quelle est l'expression de l'approximation à l'étape n ? On la notera e n . 3. Montrer que, pour tous les θ ∈
0, π 4 , 1
tan θ = 1
tan 2θ + 1
sin 2θ , sin θ =
r (sin 2θ) (tan θ) 2
4. Récurrence de Gregory 2 . Pour un α ∈ I xé et n ∈ N, on note a n = a( α
2 n ), b n = b( α 2 n ) a. Montrer que ces suites vérient les relations de récurrence :
a n+1 = 1
2 (a n + b n ) , b n+1 = p a n+1 b n
b. En admettant que 1 est la limite en 0 des fonctions a et b , expliquer comment ces formules de récurrence permettent de mettre en ÷uvre une variante de la méthode d'approximation d'Euclide.
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James Gregory (1638-1675)
5. a. Former des relations analogues à celles de la question 3. pour les fonctions de trigonométrie hyperbolique th et sh .
b. Calculer th(ln(2)) et sh(ln(2)) . c. On dénit des suites (a n ) n∈
N et (b n ) n∈
N par : ( a 0 = 5
b 0 = 4 , ∀n ∈ N :
a n+1 = 1
2 (a n + b n ) b n+1 = p
a n+1 b n
Préciser les expressions de a n et b n et la limite de ces suites. On admettra que 1 est la limite en 0 des analogues hyperboliques de a et b .
Exercice 4.
Ce texte propose de simples applications du cours de calcul intégral.
1. On considère la fonction F dénie dans R par :
∀x ∈ R , F (x) = Z x
0
ch(t) sin(t) dt a. Calculer F(x) en utilisant deux intégrations par parties.
b. Independamment du calcul précédent, retrouver l'expression de F en développant à l'aide de exponentielles (réelles et complexes).
2. Soit a < b deux nombres réels. Pour a < α < β < b et 0 < x < y < 1 , on dénit I(α, β) =
Z β α
dt
p (b − t)(t − a) , J (x, y) = Z y
x
du p u(1 − u) a. Eectuer dans l'intégrale I(α, β) le changement de variable
u = b − t b − a
b. Eectuer dans l'intégrale J(x, y) le changement de variable u = 1
2 + 1
2 sin θ avec θ ∈ h
− π 2 , π
2 i
c. Que se passe-t-il pour I(α, β) lorsque α tend vers a et β vers b ?
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
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