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Soit a et b deux éléments de A tels que . a b est inversible et . b a n’est pas un diviseur de 0.

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(1)

PanaMaths Septembre 2012

Soit ( A , ,. + ) un anneau.

Soit a et b deux éléments de A tels que . a b est inversible et . b a n’est pas un diviseur de 0.

Montrer que a et b sont inversibles.

Analyse

Un exercice où l’inversibilité de .a b sert de point de départ (puisqu’elle permet d’affirmer l’existence d’un élément c tel que …).

Résolution

Puisque .a b est inversible, il existe un élément c de

A

tel que :

( )

a b c. . =c a b.

( )

. =1

On a d’abord :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

. . 1

. . 1

. . . .1

. . . . .

a b c a b c

b a b c b b b a b c a b a

=

⇔ =

⇒ = =

⇒ =

Comme l’élément .b a n’est pas un diviseur de 0, nous pouvons simplifier la dernière égalité obtenue et il vient finalement :

( )

b c a. . =1.

Les deux égalités a b c.

( )

. =1 et

( )

b c a. . =1 nous permettent alors de conclure immédiatement que l’élément a est inversible d’inverse l’élément .b c.

On a ensuite :

( )

b c a. . = ⇔1 b c a.

( )

. =1.

Puis : c a b.

( )

. = ⇔1

( )

c a b. . =1.

Les deux égalités

( )

c a b. . =1 et b c a.

( )

. =1 nous permettent alors de conclure immédiatement que l’élément b est inversible d’inverse l’élément .c a.

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