n m a b a b 0 a = 375 { n n + 1 80% 95% n n a b

(1)

Chapitre n°3 : Tableaux de nombres : matrices Objectifs :

Niveau a eca n

C3.a ¹ Matrices carrées, matrices colonnes : opérations 1/2.

Activité d'approche n°1 : le problème à deux compartiments On conserve dans une enceinte une population d’êtres unicellulaires qui ne peuvent se trouver que dans deux états physiologiques désignés par A et B.

On désigne par a

n

et b

n

les effectifs – exprimés en milliers d’individus − des deux sous-populations (correspondant à chacun des deux états A et B) à l’instant n . Des observations menées sur une assez longue période

permettent d’estimer que 95% des unicellulaires se trouvant à l’instant n dans l’état A n’ont pas changé d’état à l’instant n + 1 , non plus que 80% de ceux se trouvant à l’instant n dans l’état B ce qui se traduit par le système suivant :

{ ^a ^b

ⁿⁿ⁺¹⁺¹

^{= 0,95} ^{= 0,05} ^a ^a

ⁿⁿ

^{+ 0,2} ^{+ 0,8} ^b ^b

ⁿⁿ

L'effectif total s'élève à 500 000

individus.

1. La population à l'instant

0

satisfait

a

0

= 375

. On a commencé à rentrer les premières valeurs dans un tableur, ci-contre. Reproduisez ce tableur sur tablette.

a. Quelles formules faut-il saisir en A2 et A3 pour obtenir

a

1 et

b

1 ?

...

b. On reporte en D5 et D6 les valeurs trouvées en A2 et A3. Quelles formules faut-il saisir en A5 et A6, pour obtenir

a

2 et

b

2 ?

...

c. On veut, par copier-coller, calculer de proche en proche les termes des deux suites. Faut-il modifier les formules ?

... f.

On appelle « matrice » un tableau de valeurs à

n

lignes et

m

colonnes. On le note en l'encadrant par de grandes parenthèses. Complétez en continuant la notation

suggérée :

1/14

(2)

( ^a ^b

ⁿⁿ⁺¹⁺¹

) ⁼ ⁽ 0,95 ...

0,05 ... ) ^× ( ^... ... )

Plus généralement :

( ...×...+...×...

...×...+...×... ) ⁼ ⁽ ^α ^α

¹¹²¹

^α ^α

¹²²²

⁾ ^× ₍ ^β ^β

¹²

₎

e. Faire le calcul des effectifs

a

n et

b

n pour

n=30

. Peut-on faire une conjecture sur le comportement des suites

(a

n

)

et

(b

n

)

?

...

f. Si on appelle

A

la matrice

( ^{0,95 0,2} 0,05 0,8 )

, exprimez

( ^a ^b

ⁿⁿ⁺¹⁺¹

)

en fonction de

( ^a ^b

⁰⁰

)

^{et de}

puissances de

A

.

...

2. Effectuer d'autres essais en gardant un effectif total identique, mais en prenant d'autres valeurs initiales. La conjecture est-elle toujours correcte ?

...

3. En utilisant la constance de l'effectif total, exprimer

a

_n+1en fonction d'uniquement

a

_n.

...

4. On définit la suite

( ^t

n

)

^par

^t

ⁿ

^{= 400 –} ^a

ⁿ. Démontrer que

( ^t

n

)

est géométrique et en déduire le comportement des suites

(a

n

)

et

(b

n

)

.

...

(3)

...

3/14

(4)

Cours n°1 : Matrice (définition) I) Définition

Définition n°1

Une matrice de dimension

n×p

est un tableau de nombres comportant

n

lignes et

p

colonnes :

( ... ... ^a ^a ^...

¹¹²¹

^a ^a ^...

¹²²²

^... ^... ^... ... ^... ^... ... ^... ^... ^... ^... ... ... ^a ^a ^...

¹²^p^p

... ... ... ... ... ...

a

_n₁

a

_n₂

... ... ... a

_np

)

Les coefficients de la matrice sont les nombres

a

_i_j ,

i

correspondant à la

i

^ème ligne,

j

correspondant à la

j

^ème colonne.

Exemple n°1

Construire la matrice de dimension

3×4

telle que

a

ij

=2×i+3×j

:

...

Définition n°2

Lorsque

n=p

, la matrice de dimension

n×p

est appelée …...

…... …... …..

Exemple n°2

Construire la matrice d'ordre

3

telle que :

a

ij

= { ^{1 si} ^{0 si i≠} ⁱ⁼ ^j ^j

...

Exemple n°3

Dans un magasin A, un stylo coûte

4

€, un cahier coûte

3

€, et une gomme coûte

2

€.

Dans un magasin B, un stylo coûte

5

€ et un cahier coûte

4

€, et une gomme coûte

3

€.

Résumer ces informations dans une matrice

2×3

.

...

(5)

...

Exercice n°1 Ex.1 p.94 Exercice n°2

Ex.2 p.94 Exercice n°3

Ex.4 p.94 Exercice n°4

Ex.35 p.96

5/14

(6)

Cours n°2 : Matrices particulières II) Matrices particulières

Définition n°3

Deux matrices A et B de coefficients respectifs a

ij

et b

ij

sont égales si et seulement si, quelques soient i et j, le coefficient a

ij

de la matrice A est égal au coefficient b

ij

de la matrice B.

Exemple n°4

Soit m

un réel.

A

est la matrice d'ordre

3

définie par

a

ij

= im+j

.

B

est la matrice d'ordre

3

définie par

b

ij

= im² + j

. Pour quelle(s) valeur(s) de

m

ces deux matrices sont-elles égales ?

...

(7)

Définition n°4

La matrice nulle est

…...

Si c'est une matrice carrée d'ordre

n

, on la note …......

La matrice unité est la matrice carrée d'ordre

n

telle que …... si

i=j

,

…... sinon.

Une matrice ligne est une matrice qui

…...………...

Une matrice colonne est une matrice qui

…...………...

On appelle diagonale principale d'une matrice carrée d'ordre

n

l'ensemble des coefficients …... avec …...

Exemple n°5

Écrire la matrice unité d'ordre

3

.

...

Exercice n°5 Ex.7 p.94 Exercice n°6

Ex.5 p.94 Exercice n°7

Ex.36 p.96

7/14

(8)

Cours n°3 : Opérations sur les matrices (1/2) III) Opérations sur les matrices (1ère partie)

Définition n°5 (somme et multiplication par un réel)

Soient deux matrices

A

et

B

de coefficients respectifs

a

ij et

b

ij, et

k

un nombre réel, alors :

C = A + B

est la matrice de coefficients …...

K = kA

est la matrice de coefficients …...

Exemple n°6

On définit une suite de matrices carrées d'ordre

2 (A

n

)

de la façon suivante :

a

ij

= ( i + j ) n

. Calculer

1 3 ∑

k=1 3

A

_k :

...

Propriété n°1

Soient trois matrices A, B

et

C de coefficients respectifs a

ij

, b

ij et

c

ij , et

k

un nombre réel, alors :

1.

A + B =...

2.

( A+B ) + C = …...

3.

k ( A + B ) = …...

4.

( k + k' ) A = …...

5.

k ( k' A ) = …...

Définition n°6 (multiplication par une matrice colonne)

Soit

A

une matrice

n×p de coefficients a

ij et

B

une matrice colonne à

p

éléments, de coefficient

b

i1.

Alors

C = A×B

est une matrice …... dont chaque coefficient vaut : …...

Exemple n°7

On reprend l'exemple n°3. En traduisant le problème sous la forme d'un produit matriciel, comparer l'achat de

4

stylos,

3

cahiers et d'une gomme dans les magasins A et B.

(9)

...

Exemple n°8

Soit

I

n la matrice unité d'ordre

n

et

A

n une matrice colonne à

n

éléments.

Que vaut

I

n×

A

n ?

...

Exercice n°8 Ex.10 p.94 Exercice n°9

Ex.13 p.94 Exercice n°10

Ex.15 p.94 Exercice n°11

Ex.16 p.94 Exercice n°12*

Soit  = π

4

et la matrice

A= (

^cos^sin^θ^{θ −sin}^cos^θ^θ

)

Soit

⃗ i

le vecteur de coordonnées

( ¹ ⁰ )

(l'abscisse est en haut). On appelle

B

cette matrice

(

¹⁰

)

1. Déterminer le vecteur

⃗ u

dont les coordonnées vérifient

A×B

. Tracer ces vecteurs dans un repère orthonormé.

2. Ré-appliquer la matrice

A

sur le vecteur

⃗ u

. Que semble-t-il se passer ?

Exercice n°13*

Ex.21 p.95 Exercice n°14*

Ex.40 p.96 Exercice n°15*

Ex.42 p.96 Exercice n°16**

On reprend l'exercice n°12, mais avec 

quelconque.

1. Soit

(O; ^⃗ i ; ^⃗ j )

un repère orthonormé direct. Conjecturer l'effet de la multiplication de

A

par

⃗ i

et de la multiplication de

A

par

⃗ j

.

2. Démontrez cette conjecture.

9/14

(10)

3. En déduire l'effet de cette matrice sur tout vecteur du repère.

(11)

Indices et résultats

Exercice n°1 (Ex.1 p.94) : 1. a12 = 0,2 ; a21 = 0,8 ; a23 = 0,2 . 3. 2,3 Exercice n°2 (Ex.2 p.94) :

( ^{2 3} ^{1 2} )

Exercice n°3 (Ex.4 p.94) :

A= ( ^{0 1 2} ^{1 2 0} ^{2 0 1} )

Exercice n°4 (Ex.35 p.96) : 1.

E = ( ^{560 160 80} 560 105 35 )

^2.

^F= ⁽ 0,747 0,177 0,077 )

Exercice n°5 (Ex.7 p.94) :

trace(A) = ∑

i=1 n

i = ¹

2 n(n + 1)

Exercice n°6 (Ex.5 p.94) : 1. a13=3 ; a31=7 ; 2.

∑

j=1 3

a

_jj ^{= 15 3.}

∑

j=1 3

a

₂_j ^{= 15 4.}

∑

j=1 3

a

₄₋_jj ^=15.

Exercice n°7 (Ex.36 p.96) :

A = ( ^{12 8 4 0} ³ ⁶ ⁹ ^{2 1 0} ^{4 2 0} ^{6 3 0} )

Exercice n°8 (Ex.10 p.94) : 3A =

( ^{−3 3} ³⁰ ^1,5 ^√ ² )

, –2A – B =

( ^−14,9 ⁰ ⁻² ^−1−π ^√ ²⁻ ² ³ )

Exercice n°9 (Ex.13 p.94) : 2A – 3B =

( ⁻¹ ¹ ³ ⁻¹⁰ ⁻⁸ ⁻⁶ ⁻²⁵ ⁻²³ ⁻²¹ )

Exercice n°10 (Ex.15 p.94) :

AX = ( −26 ⁰ )

Exercice n°11 (Ex.16 p.94) :

( ^{x '} y ' ) ⁼ ( −1 1 ¹ ² ) ( ^x y )

Exercice n°12* : 1.

( ^√ ^√ ² ² ² ² )

^2.

⁽ ⁰ ¹ ⁾

: le vecteur a encore tourné de

π 4

^.

Exercice n°13* (Ex.21 p.95) : Symétrie d'axe ….

Exercice n°14* (Ex.40 p.96) : t = 3 et s = –5 Exercice n°15* (Ex.42 p.96) :

s = 1

^et

t = ¹

e

^x

Exercice n°16** : 1.

⃗ i

et

⃗ j

subissent tous les deux une rotation d'angle . 2. Par le calcul...

3. Idem.

11/14

(12)

(13)

13/14

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser l'interrogation n°... du chap. n°...

* Je veux repasser le contrôle n°...

Travail fait en classe :