Exercice 1 Soit a et b deux nombres positifs. On appelle moyenne géométrique de a et b , le nombre √

Corrigé du DM n°1 pour mercredi 08/09/2021

Le devoir doit être rédigé sur des copies doubles.

Les copies dont les résultats ne sont pas souli- gnés ou encadrés ne seront pas corrigées.

Exercice 1 Soit a et b deux nombres positifs. On appelle moyenne géométrique de a et b , le nombre √

ab .

1. Calculer la moyenne géométrique de 2 et 8. Elle vaut √

2 × 8 = 4. Elle est inférieure à la moyenne arithmétique qui vaut ²⁺⁸ ₂ = 5.

2. Démontrer que :

√

ab 6 a + b 2 .

Cette inégalité est très classique. Cela revient à comparer 2 √

ab et a + b . Le nombre 2 √ ab peut se voir comme un «double produit», ( √

a − √

b ) ² = a + b − 2 √

ab est positif car c’est un carré, donc a + b > 2 √

ab .

3. La fortune de Crésus a été multipliée par 13 la première année et par 7 la deuxième année.

Puisque 10 est la moyenne arithmétique de 7 et 13, peut-on affirmer qu’en moyenne la fortune de Crésus a été multipliée par 10 ?

Si x est la valeur moyenne par laquelle la fortune a été multipliée, on doit avoir x × x = 13 × 7, donc x = √

7 × 13. Donc x est la moyenne géométrique de 13 et 7, elle vaut environ 9 . 53 qui est inférieure comme prévue à 10.

4. Un champ rectangulaire de dimensions a et b a la même aire qu’un disque de rayon r . Démontrer que le périmètre du disque est inférieur à celui du rectangle.

Comme l’aire du rectangle est égale à celle du disque, on a ab = πr ² et donc r = ^{√ √ ab} _π . Le périmètre du cercle vaut

2 πr = 2 π

√ ab

√ π = 2 √ π √

ab 6 √

π ( a + b ) < 2( a + b ) . La dernière inégalité provient du fait que π < 4 et donc √

π < 2.

Exercice 2 Soit n ∈ N ^∗ . Calculer les sommes suivantes :

1. Tout d’abord remarquons que ^{P k} i=0 1 = 1 + 1 + · · · + 1 avec ( k + 1) termes (attention il y a k + 1 entiers entre 0 et k ). Ainsi

n

X

k=1 k

X

i=0

1 = ^{X n}

k=1

( k + 1) .

Cette dernière somme peut se calculer de deux façons différentes :

• on peut la voir comme

2 + 3 + · · · + n + ( n + 1) = (1 + 2 + 3 + · · · + n + ( n + 1)) − 1 = ( n + 1)( n + 2)

2 − 1

= ( n + 1)( n + 2) − 2

2 = n ² + 3 n + 2 − 2 2

= n ( n + 3) 2

• on peut sinon faire ainsi

n

X

k=1

( k + 1) = ^{X n}

k=1

k + ^{X n}

k=1

1

= n ( n + 1)

2 + n

= n ( n + 1) + 2 n

2 = n ( n + 1 + 2) n

= n ( n + 3) 2

2. Cela ressemble à une somme géométrique, on a :

n

X

i=1

1

2 ⁴ⁱ⁺¹ = ^{X n}

i=1

1 2 × 1

(2 ⁴ ) ⁱ = 1 2

n

X

i=1

( 1 16 ) ⁱ

= 1

2

1 / 16 − (1 / 16) ⁿ⁺¹ 1 − 1 / 16

= 1

30 (1 − (1 / 16) ⁿ )

3. Ici il y a une astuce, on écrit ln ^k+1 _k = ln( k + 1) − ln k , on tombe alors sur une somme

«télescopique».

n

X

k=1

(ln( k + 1) − ln k ) = (ln 2 − ln 1) + (ln 3 − ln 2) + . . . + (ln( n ) − ln( n − 1)) + (ln( n + 1) − ln n )

= − ln 1 + ln( n + 1)

= ln( n + 1)

Exercice 3 (Un produit convergent) On considère la suite u définie par

u _n = ^{Y n}

k=1

(1 + 1 2 ^k )

1. Démontrer que ∀x ∈ R , e ^x > x + 1 et interpréter graphiquement.

-3

-3 -2-2 -1-1 11 22 33 44

-3 -3 -2 -2 -1 -1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5

0 0

Figure 1 – courbe de exp

On note f la fonction définie sur R par f ( x ) = e ^x − ( x + 1). Elle est dérivable sur R comme somme de fonctions dérivables et on a pour tout réel x , f ⁰ ( x ) = e ^x − 1. On a donc

f ⁰ ( x ) > 0 ⇐⇒ e ^x > 1 ⇐⇒ x > 0 .

On a donc f croissante sur R ⁺ et f décroissante sur R ⁻ . Elle est donc minimale en x = 0 (dessiner le tableau de variations). Or f (0) = 0. Donc pour tout x ∈ R, on a f ( x ) > 0, ce qui donne e ^x > x + 1.

La tangente au point d’abscisse 0 de courbe de la fonction exp a pour équation y = x + 1.

L’inégalité précédente signifie donc que la courbe de exp est au-dessus de sa tangente en 0.

Remarque : on verra qu’en fait la courbe de exp est au-dessus de chacune de ses tangentes, on dit que c’est une fonction convexe.

2. Démontrer que u est majorée. En déduire que u converge.

La suite u est croissante, puisque pour tout n ∈ N ^∗ , on a u _n+1

u _n = 1 + 1

2 ⁿ⁺¹ > 1 .

On rappelle l’inégalité de convexité de exp : pour tout x ∈ R, 1 + x 6 e ^x . Ainsi

u _n 6

n

Y

k=1

exp( 1

2 ^k ) = exp ^{X n}

k=1

1 2 ^k

!

= exp





1

2 − ¹ ₂ ⁿ⁺¹ 1 − ¹ ₂



 = exp 1 − 1 2

n

6 e .

La suite u est donc croissante et majorée, elle converge d’après le théorème de la limiet monotone.

3. Programmer ensuite cette suite, pour estimer la limite.

Elle converge vers un réel l ≈ 2 , 3842310290313713, obtenu par le script Python suivant n = 100

# calcul de u_n u = 1

for k in range(1, n+1):

u = u*(1+1/2**k) print(u)

Remarque :

• on peut améliorer l’efficacité de ce sript en calculant différemment les puissances de deux.

• on peut prouver avec des résultats de recherche que la limite l est irrationnelle.

• Pour s’amuser, prouver que :

+∞

Y

k=1

(1 + 1 2 ²

) = 4

3 .

Exercice 4 (Une équation fonctionnelle) Le but de l’exercice est de déterminer toutes les fonctions f définies sur R vérifiant la propriété :

P : ∀ ( x, y ) ∈ R ² , f ( x ) f ( y ) − f ( xy ) = x + y.

Pour cela on raisonne par analyse-synthèse.

1. Analyse : Soit f une fonction vérifiant la relation ( ? ) ci-dessus. Comme toujours, l’idée est de choisir des valeurs de x et de y assez simples et d’essayer d’obtenir des informations sur f ...

Prenons x = y = 0. On a alors f (0) ² − f (0) = 0. Ainsi f (0)( f (0) − 1) = 0 d’où f (0) ∈ { 0 , 1 } .

Si f (0) = 0, alors en prenant x = 0 et y = 1, on a f (0) f (1) − f (0 × 1) = 0 + 1 d’où 0 = 1, ce qui n’est pas ! Ainsi si f est solution on a nécessairement f (0) = 1.

Ainsi en prenant x quelconque et y = 0, on obtient f ( x ) f (0) − f ( x × 0) = x + 0 d’où f ( x ) − 1 = x , i.e. f ( x ) = x + 1. Nous venons donc de prouver que si f est solution, alors f est la fonction affine x 7→ x + 1.

2. Synthèse : vérifions réciproquement que la fonction φ : x 7→ x + 1 vérifie la relation ( ? ).

Soit x et y des réels. On a

φ ( x ) φ ( y ) − φ ( xy ) = ( x + 1)( y + 1) − ( xy + 1) = xy + x + y + 1 − xy − 1 = x + y.

Ceci prouve que la fonction φ vérifie bien la relation ( ? ).

Conclusion : la fonction x 7→ x + 1 est l’unique fonction vérifiant la relation ( ? ).

Facultatif

Exercice 5 (Facultatif) Soit n ∈ N ^∗ et x ₁ , . . . , x _n des réels tels que

n

X

k=1

x ² _k = ^{X n}

k=1

x _k = n Démontrer que x ₁ = x ₂ = · · · = x _n = 1.

Exercice 6 Déterminer la limite (on donnera la valeur exacte) de la suite ( u _n ) définie par : u _n = ^{Y n}

k=1

(1 + 1

2 ²

) .