Exercice 1 (Moyenne géométrique) Soit a et b deux nombres positifs. On appelle moyenne géométrique de a et b, le nombre √

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2021-2022 1

Devoir maison n°1 pour mercredi 08/09/2021

Le devoir doit être rédigé sur des copies doubles.

Les copies dont les résultats ne sont pas souli- gnés ou encadrés ne seront pas corrigées.

Exercice 1 (Moyenne géométrique) Soit a et b deux nombres positifs. On appelle moyenne géométrique de a et b, le nombre √

ab.

1. Calculer la moyenne géométrique de 2 et 8. La comparer à la moyenne «classique», que l’on appelle aussi moyenne arithmétique.

2. Démontrer que :

√ ab 6 a + b 2 .

3. La fortune de Crésus a été multipliée par 13 la première année et par 7 la deuxième année.

Puisque 10 est la moyenne arithmétique de 7 et 13, peut-on affirmer qu’en moyenne chaque année la fortune de Crésus a été multipliée par 10 ?

4. Un champ rectangulaire de dimensions a et b a la même aire qu’un disque de rayon r.

Démontrer que le périmètre du disque est inférieur à celui du rectangle.

Exercice 2 Soit n ∈ N ^∗ . Calculer les sommes suivantes : 1.

X n

k =1

X k

i=0

1 2.

X n

i=1

1

2 ⁴ⁱ⁺¹ 3.

X n

k =1

ln k + 1 k .

Exercice 3 (Un produit convergent) On considère la suite u définie par

u n =

Y n

k=1

(1 + 1 2 ^k )

1. Démontrer que ∀ x ∈ R , e ^x > x + 1 et interpréter graphiquement.

2. Démontrer que u est majorée. En déduire que u converge.

3. Programmer ensuite cette suite, pour estimer la limite.

Exercice 4 (Une équation fonctionnelle) Le but de l’exercice est de déterminer toutes les fonctions f définies sur R vérifiant la propriété :

P : ∀ (x, y) ∈ R ² , f(x)f(y) − f (xy) = x + y.

Pour cela on raisonne par analyse-synthèse.

1. Analyse : soit f une fonction vérifiant la propriété P . (a) Quelle(s) valeur(s) peut prendre f (0) ?

(b) Que dire si f (0) = 0 ? (c) Que dire de f si f (0) 6 = 0 ?

2. Synthèse : quelles sont les fonctions vérifiant la propriété P ?

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Facultatif

Exercice 5 (Facultatif) Soit n ∈ N ^∗ et x 1 , . . . , x n des réels tels que

X n

k=1

x ² k =

X n

k=1

x k = n Démontrer que x 1 = x 2 = · · · = x n = 1.

Exercice 6 Déterminer la limite (on donnera la valeur exacte) de la suite ( u n ) définie par : u n =

Y n

k=1

(1 + 1

2 ²

).