• Aucun résultat trouvé

P ( B ) 0,35 n X = M × X M = /mat{/calc{1-#3};0,3;;/t{0,25;0,35};0,7} X B B n b A A n a n A B A × B = B × A A B n n ( u ) (/t{10;11;12;13;14;15;16;17}; n ). ( u ) n ≥ 1 u = n n² + n • • • • •

N/A
N/A
Info
Télécharger
Protected

Academic year: 2022

Partager "P ( B ) 0,35 n X = M × X M = /mat{/calc{1-#3};0,3;;/t{0,25;0,35};0,7} X B B n b A A n a n A B A × B = B × A A B n n ( u ) (/t{10;11;12;13;14;15;16;17}; n ). ( u ) n ≥ 1 u = n n² + n • • • • •"

Copied!
4
0
0

Chargement.... (Voir le texte intégral maintenant)

Texte intégral

(1)

1/4 -

TS – Spécialité mathématique – Contrôle n°3

• La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation de la copie.

• Le barème donné n'est qu'indicatif et peut être modifié.

• La calculatrice est autorisée, le téléphone portable et la montre connectée sont interdits.

• Le sujet étant différent pour chaque candidat, veuillez joindre le sujet à votre copie quand vous rendez votre travail.

• Si, au cours de l'épreuve, le candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Exercice n°1 - 8pts

Pour chacune des quatre propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et justifier la réponse choisie.

Il est attribué deux points par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.

1. Proposition 1

Pour tout entier naturel n , le chiffre des unités de n² + n n’est jamais égal à

$/t{1;3;5;6;7;8;9}$.

2. Proposition 2

On considère la suite (u

n

) définie, pour n ≥ 1 , par : u

n

= 1 n

PGCD (/t{10;11;12;13;14;15;16;17};n).

La suite (u

n

) est convergente.

3. Proposition 3

Pour toutes matrices A et B carrées d’ordre n ( n étant un entier naturel supérieur à 2), on a A × B = B × A .

4. Proposition 4

Un mobile peut occuper deux position A et B . A chaque étape, il peut soit rester dans la position dans laquelle il se trouve, soit en changer.

Pour tout entier n , on note :

- A

n

l’évènement « le mobile se trouve dans la position A à l’étape n », et a

n

sa probabilité.

- B

n

l’évènement « le mobile se trouve dans la position B à l’étape n », et b

n

sa probabilité.

- X

n

la matrice colonne /mat{a_n;;b_n}

On admet que, pour tout entier n , X

n+1

= M × X

n

avec M = /mat{/calc{1-

#3};0,3;;/t{0,25;0,35};0,7}

La probabilité P

An

(B

n+1

) vaut 0,35 .

1/4

(2)

2/4 -

Exercice n°2 - 4 pts

1. Soit (d

1

) la droite d’équation y = /f{5;/t{4;7}}x – /f{/t{2;4};3}

a. Montrer que si (x;y) est un couple d’entiers relatifs, alors l’entier 15x – /calc{#4*3}y est divisible par 3 .

b. Existe-t-il au moins un point de la droite (d

1

) dont les coordonnées sont deux entiers relatifs ? Justifier.

2. Soit (d) la droite d’équation (E) : y = m

n x – p

q où m,n,p et q sont des entiers relatifs non nuls tels que PGCD (m;n)= PGCD (p;q)=1 .

Ainsi, les coefficients de l’équation (E) sont des fractions irréductibles.

On suppose que (d) passe par un point (x

0

;y

0

) où x

0

et y

0

sont des entiers relatifs.

Démontrer que q divise np . Exercice n°3 – 4 pts

On admettra le théorème suivant (dit théorème de Gauss) : Soient quatre entiers relatifs m,n,p et q tels que mn=pq.

Alors, si m et p sont premiers entre eux, m divise q .

On considère l’équation suivante, d’inconnues x et y entiers relatifs :

(E) : /t{7x – 3y = 1 ; 9x – 4y = 1} .

1. Un algorithme incomplet est donné ci-dessous. Le compléter, en écrivant ses lignes manquantes (1) et (2), de manière à ce qu’il donne les solutions entières

(x;y) de l’équation (E) , vérifiant -5 ≤ x ≤ 10 et -5 ≤ y ≤ 10 : Variables : X est un nombre entier.

Y est un nombre entier.

Début : Pour X variant de -5 à 10

(1) ………..

(2) ………..

Alors Afficher X et Y Fin Si

Fin Pour Fin Pour

Fin 2.

a. Donner une solution particulière de l’équation (E) .

b. Déterminer l’ensemble des couples d’entiers relatifs solution de l’équation (E) (on pourra utiliser la solution particulière et le théorème de Gauss)

c. Déterminer l’ensemble des couples d’entiers relatifs (x;y) solutions de

(E) vérifiant -5 ≤ x ≤ 10 et -5 ≤ y ≤ 10 . Exercice n°4 – 6 pts

On observe la taille d’une colonie d’insectes tous les jours.

Pour tout entier naturel n non nul, on note u

n

le nombre d’insectes, exprimer en milliers, dans cette population, au bout du n -ième jour.

2/4

(3)

3/4 -

Au début de l’étude, la colonie compte 5000 individus.

A bout d’un jour, la colonie compte 5100 individus.

Ainsi, u

0

= 5 et u

1

= 5,1 .

On suppose que la taille de la colonie augmente de plus en plus lentement : l’accroissement de la taille diminue chaque jour de 10 % .

1. Exprimer l’accroissement u

n+2

– u

n+1

en fonction de u

n+1

– u

n

. 2. Calculer u

2

.

3. On pose V

n

=/mat{u_{n+1};;u_n} et A=/mat{1,9;-0,9;;1;0}

a. Démontrer que, pour tout entier naturel n , V

n+1

= AV

n

. b. On pose P=/mat{0,9;1;;1;1} . Calculer P

-1

.

c. Déterminer D = P

-1

AP . d. Démontrer que A

n

=PD

n

P

-1

.

4. On admet que V

n

=A

n

V

0

et que A

n

=/mat{-10 times 0,9^{n+1} +10 ; 10 times 0,9^{n+1} -9;;-10 times 0,9^n+10;10 times 0,9^n – 9}

a. Déduire de ce qui précède que u

n

= 6 – 0,9

n

. b. Interpréter ce résultat.

3/4

(4)

4/4 -

4/4

Références

Télécharger maintenant ( ODT - 4 Page - 36.76 KB )

Documents relatifs

;0  ;0  ;0  x 0;  ;0  a 0;  b 0;   lnln ba a 0;  b 0;   lnln ba a 0;  b 0;   lnln ba x 0;  ;0  ;0   ;00;   01ln e  1ln                         

Ce contre exemple prouve que le domaine de dérivabilité d’une fonction n’est pas la même chose que le domaine de définition de la formule de la

T H E D I O P H A b l T I b l E E O U A T I 0 b l a a c a + b y a + c z 3 = 0 .

W e suppose that the congruence conditions 2.1.1o are satisfied, and shall treat the corresponding equation in the~urely cubic..

d t = − L ( t, x, b u b ; ω ) , u b (0; λ )= u ( λ ) ,t ≥ 0 , d u b d t = g ( t, x, b u b ; ω ) , x b (0; λ )= λ ∈ R ,t ≥ 0 , d x b  istheglobalsolutionassociatedwiththecorrespondingrandomcharacteristicsystem(B) { ( x b ( t ; λ ) , u b ( t ; λ )) ∈ R

The main results given in the third section of this paper concern the exponential stability of the solution satisfying R.H.-J.E... The conclusions of Lemma

" # & B B B B B B B B B B B B B B B B A V A A A V A 0 A A A A A A A A 0 A A 0 u u u u u u u u u u u u A u u u u u u A u u u V y z y z y z z y y z y z y z x x x x x x x sinA; B % ( $ ' ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !

• Dans le cas particulier de deux vecteurs à trois coordonnées, on constate que le tenseur antisymétrique ainsi associé n'a que trois coordonnées

B B u u u u u u v v A v v A v v !"# !"# !"# !"# !"# !"# !" !" !"# !"# !" !" !"# !"# !"# !"# 12 12 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 52 52

Justifier (sans calcul) son raisonnement. b) Dans le cas de ce train presque aussi long que la gare, cela imposerait une vitesse tellement faible lors de la traversée que ce

a;b c s … 7 ; 82 s … 8 ; 01 0 s 0 s 0 0 0 1 3 1 3 x

[r]

(Esystlin1.tex) x= u b v d a b c d , y= a u c v a b c d 3

Le plus simple pour le prouver est de calculer son rang qui est

2 2 L (cos1 a + a b − − 1)sin1 b 12 12 2 2 12 a − b ⎛⎝⎜⎞⎠⎟ ⎛⎝⎜⎞⎠⎟ b 2 2 = a b a − b n n ⎛⎝⎜⎞⎠⎟ n + 12 n + 1 n + 1 n n n n a a k = − = b ≤ x f ( = x ) = x + x + u = n n + 1 n n 0 2 2 x x 2 ⎛⎝⎜⎞⎠⎟⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 12 2 u = u + n + 1 n u n

[r]