(1)Masterd'Informatique LOGIQUE Corrigédu ontrle ontinu du 30Novembre 2009 Exerie 1(sur 4points) 1-Voii despreuvesdansLK : A, B⊢A ax ′ A, B⊢B ax ′ A, B⊢A∧B ∧d A, B,¬(A∧B)⊢ ¬g ¬(A∧B)⊢ ¬A,¬B¬ 2 d ¬(A∧B)⊢ ¬A∨ ¬B ∨d A, B⊢A, B ax ′ A∧B ⊢A, B∧g ⊢ ¬(A∧B), A, B ¬

Masterd'Informatique 1,2009/2010

LOGIQUE

Corrigédu ontrle ontinu du 30Novembre 2009

Exerie 1(sur 4points)

1-Voii despreuvesdansLK ^: A, B⊢A

ax

′

A, B⊢B

ax

′

A, B⊢A∧B ^∧d A, B,¬(A∧B)⊢ ^¬g

¬(A∧B)⊢ ¬A,¬B^¬

2

d

¬(A∧B)⊢ ¬A∨ ¬B ^∨d

A, B⊢A, B

ax

′

A∧B ⊢A, B^∧g

⊢ ¬(A∧B), A, B ^¬d

¬A,¬B ⊢ ¬(A∧B)^¬

2

g

¬A∨ ¬B ⊢ ¬(A∧B)^∨g P(x)⊢P(x)

ax

⊢P(x),¬P(x)^¬d

⊢P(x)∨ ¬P(x)^∨d

⊢ ∀x(P(x)∨ ¬P(x))^∀d

¬(∀x(P(x)∨ ¬P(x)))⊢ ^¬g

⊢ ¬¬(∀x(P(x)∨ ¬P(x)))^¬d

P(x)⊢P(x)

ax

P(x)⊢ ∃xP(x)^∃d P(x),¬∃xP(x)⊢ ^¬g

¬∃xP(x)⊢ ¬P(x)^¬d

¬∃xP(x)⊢ ∀x¬P(x)^∀d

⊢(¬∃xP(x))→(∀x¬P(x))^→d

2-La quatrième preuve estaussiune preuve dansLJ^.

Exerie 2(sur 3points)

1-Lapropriété |== ¬(A∨¬A)^{n'estpasvraie:danslastruturebooléennedéniepar}ν(A) = 1

lavaleur de¬(A∨ ¬A) ^est0^{.Don, par lapropriété}d'adéquation dusystème LK^{,le séquent}

⊢ ¬(A∨ ¬A) ^{n'est pasprouvable.}

2-Cosinus aommis deuxerreurs :

2.1:onnepeutpasserduséquent⊥ ⊢^{au séquent}A⊢^{parauunesuiteniederèglesde}LK^,

enpartiulier pasaumoyen d'unesuite nied'aaiblissements;

2.2onnepeutpasserduséquent A⊢A^auséquent ⊢A^{parauunerèglede}LK^{,enpartiulier}

pasau moyen d'une ontration gauhe;

Exerie 3(sur 3points)

1-2 Supposons que π ^{est une preuve dans} LK ^de Γ ⊢ A∨B^{. On obtient alors la preuve} π^′

suivantede Γ⊢ ¬A→B^.

π

.

.

.

Γ⊢A∨B A⊢A

ax

A,¬A⊢

¬

g

A,¬A⊢B

aff

d

B,¬A⊢B

ax

′

A∨B,¬A⊢B

∨

g

A∨B ⊢ ¬A→B

→

d

Γ⊢ ¬A→B

oupure

3-Lapreuveπ^{′i-dessusontientuneoupure.D'aprèslethéorème}d'éliminationdesoupures, on peutonstruire, àpartir deπ^{′,unepreuve} π^{′′ ,dans}LK^{, dumême séquent} Γ⊢ ¬A→B^,

quine omporte auuneoupure.

Exerie 4(sur 10 points)

1-L'image de A ^par l'appliation SA ^est{1,2}^.Don A1 ^{estvérié par} A^.

Parlamêmeremarque,haqueélémentdeA^diérentde0^estbiendansIm(SA)^,don A2^est

vériée par A^.

Lapremière ligne (resp.olonne) du tableau dénissant +A ^{orrespond à} l'identité,don A4

est vériée par A^{.On peut vérier} A5 ^{pour haque ouple} (x, y) ⁽⁹ vériations). On peut aussiremarquerquelatablede+A ^{estelledumonoidequotient de}(N,+)^{par laongruene}

(demonoides)déniepar:u≡v^{sietseulementsi[(}u=v= 0^)ou(u≥1, v≥1^et2|(u−v)^)℄.

La loi +A ^{est don} assoiative. L'appliation SA ^{oinide ave} x 7→ x+ 1 ^{dans e monoide.}

L'axiomeA5 ^armeque:x+ (y+ 1) = (x+y) + 1^{,equi déoule de} l'assoiativité de +A^.

2-La seule interprétation possible est

×A 0 1 2

0 0 0 0

1 0 1 2

2 0 2 2

3-Comme SA(0) =SA(2)^{alors que}06= 2^,A3 ^{n'est pasvraidansette struture.}

4-D'aprèslethéorèmed'adéquation, toutséquent prouvableestvraidanstoutestruture.Or

A|== EG∧A1∧A2∧A4∧A5∧A6∧A7^,maisA 6 |== A3^.DonEG,A1,A2,A4,A5,A6,A7|−−A3

n'estpas vraidansA ^{et, afortiori,n'est pasprouvable dans}LK^.

5-Dans la struture usuelle N := hN,+, Si^{, tous les axiomes de P0 sont vrais. Don} N |== EG∧A1∧A2∧A4∧A5∧A6∧A7^,maisN 6 |==¬A3^.DonEG,A1,A2,A4,A5,A6,A7|−− ¬A3

n'estpas prouvabledansLK^.