2 2 L (cos1 a + a b − − 1)sin1 b 12 12 2 2 12 a − b ⎛⎝⎜⎞⎠⎟ ⎛⎝⎜⎞⎠⎟ b 2 2 = a b a − b n n ⎛⎝⎜⎞⎠⎟ n + 12 n + 1 n + 1 n n n n a a k = − = b ≤ x f ( = x ) = x + x + u = n n + 1 n n 0 2 2 x x 2 ⎛⎝⎜⎞⎠⎟⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 12 2 u = u + n + 1 n u n

TS1                      DM2  de  mathématiques  à  rendre  pour  le  lundi  4  octobre  2010    

 

exercice  1  

Soit  (un)  la  suite  définie  pour  tout  entier  naturel  n  par  :  

u₀ = 1 2 u_n+1= 1

2 u_n + 2 u_n

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎧

⎨⎪⎪

⎩

⎪⎪

 

1.  a.  Soit  f  la  fonction  définie  sur  ]0  ;+∞[  par   f(x)= 1

2 x+ 2 x

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟  

                 Etudier  le  sens  de  variation  de  f  et  tracer  sa  courbe  représentative  dans  le  plan                    muni  d’un  repère  orthonormal  (on  prendra  comme  unité  2  cm)  

       b.  Utiliser  le  graphique  précédent  pour  construire  sur  l’axe  des  abscisses  les  points                      d’abscisses  u0,  u1  ,  u2  ,  et  u3.    

2.  a.  Montrer  que  pour  tout  entier  naturel  non  nul  ,  un  ≥   2          b.  Montrer  que  pour  tout  x  ≥   2  ,  f(x)  ≤  x    

       c.  En  déduire  que  la  suite  (un)  est  décroissante  à  partir  du  rang  1          d.  Prouver  qu’elle  converge  

3.  Soit  

l

 la  limite  de  la  suite  (un).  Montrer  que  

l

 est  solution  de  l’équation  x= 1 2 x+2

x

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟  

         En  déduire  sa  valeur      

exercice  2  :  moyenne  arithmético-­géométrique    

Soient  a  et  b  deux  réels  tels  que  a  >  b  >  0.  Soient  (an)  et  (bn)  les  suites  définies  par  :     a0  =  a  ;  b0  =  b  et  pour  tout  naturel  n  ,  a_n+1 = a_n+b_n

2  et    b_n+1= a_nb_n  

Le  but  de  l’exercice  est  de  montrer  que  les  deux  suites  convergent  vers  la  même  limite   appelée  moyenne  arithmético-­‐géométrique  de  a  et  b.    

1.  A  l’aide  d’un  tableur  ou  d’une  calculatrice,  déterminer  des  valeurs  approchées  des  10            premières  termes  des  deux  suites  avec  a  =  9  et  b  =  1    

2.  a.  Montrer  par  récurrence  que  pour  tout  naturel  n,  an  >  0  et  bn  >  0.    

       b.  Montrer  que  a_n+1²−b²_n+1=   a_n −b_n 2

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟

2

.  En  déduire  que  pour  tout  n  ∈    ,  an  ≥  bn          c.  En  déduire  que  la  suite  (an)  est  décroissante  et  la  suite  (bn)  est  croissante   3.  a.  Montrer  par  récurrence  que  pour  tout  naturel  n  ,  a_n −b_n ≤ a−b

2ⁿ          b.  Montrer  que  les  suites  (an)  et  (bn)  sont  adjacentes.  Conclure    

 

exercice  3  :  divergence  des  suites  (cos  n)  et  (sin  n)  

question  préliminaire  :  montrer  que  si  la  suite  (un)  converge  vers  L  ,  il  en  est  de  même  de   la  suite  (u2n)  

 

1.  Supposons  que  la  suite  (cos  n)  converge  vers  L  ∈  [-­‐  1  ;  1].    

       En  développant  cos(n  +  1)  ,  montrer  que  la  suite  (sin  n)  converge  vers  k= L(cos1−1) sin1   2.  En  développant  sin(2n)  ,  montrer  que    k  =  2Lk.    

       En  déduire  les  valeurs  possibles  de  L  et  k.  (2  cas  possibles  :  L  =  0  ou  L  ≠  0)   3.  A  l’aide  de  cos(2n)  =  2cos²  n  –  1  ,  trouver  une  contradiction.  Conclure    

 

correction     exercice  1  

1.  a.  f  est  dérivable  sur  ]0  ;+∞[  et   f'(x)= 1

2 1− 2 x²

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟ = x² −2 2x²   x   0                                                                                   2                                                                            +∞  

f  ’(x)    ⎜⎜                                          –                                      0                                            +        

f(x)    ⎜⎜  +∞                                                         2                                                                  +∞  

           b.    

 

   

2.  a.  un  calcul  immédiat  donne  u1  =  2,25    

                 Supposons  que  pour  un  certain  entier  n  ≥  1  ,  un  ≥   2  

                 f  est  croissante  sur  [ 2  ;+∞[  ,  donc  f(un)  ≥  f( 2)  ,  soit  un+1  ≥   2                    On  a  montré  par  récurrence  que  pour  tout  entier  naturel  n,  un  ≥   2          b.  f(x)  –  x  =  ^x2+2

2x −x= 2−x²

2x du  signe  de  2  –  x²  sur  ] 2  ;+∞[  ,  donc  négatif                  donc  pour  tout  x  ≥   2  ,  f(x)  ≤  x    

       c.  Pour  tout  entier  n  ≥  1  ,  un  ≥ 2  donc  d’après  ce  qui  précède  ,  f(un)  ≤  un  ,                    donc  un+1  ≤  un  et  la  suite  est  décroissante  

       d.  La  suite  (un)  est  décroissante  et  minorée  par  0,  donc  elle  est  convergente    

3.  Soit  l  la  limite  de  (un)  ,  alors  l  est  aussi  la  limite  de  (un+1)            De  la  récurrence  u_n+1= 1

2 u_n + 2 u_n

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟  ,  on  déduit  donc  l= 1 2 l+ 2

l

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟  équivalent  à  l²  =  2          donc  l  =   2  ou  l  =  -­‐ 2  .  Mais  un  ≥ 2pour  tout  n  ≥  1  ,  donc  l  ≥   2  et  l  = 2.  

 

 

exercice  3  -­  question  préliminaire  :  

Soit  I  un  intervalle  ouvert  contenant  L  ,  il  existe  N  entier  naturel  tel  que                    pour  n  ≥  N  ,  un  ∈  I  ,  car  lim  un  =  L  

                 pour  n  ≥  Ent(N/2+1)  ,  u2n  ∈  I,  donc  lim  u2n  =  L    

1.  Supposons  que  la  suite  (cos  n)  converge  vers  L  ∈  [-­‐  1  ;  1].    

       cos(n  +  1)  =  cos  n  cos  1  –  sin  n  sin  1,  donc  sinn= cosncos1−cos

(

n+1

)

sin1  

     Les  suites  (cos  n)  et  (cos  (n+1))  ont  pour  limite  L  ,  donc  par  opérations  sur  les  limites        la  suite  (sin  n)  converge  vers  k= L(cos1−1)

sin1 [1]  

2.  sin(2n)  =  2sin  n  cos  n    et  lim  sin(2n)  =  lim  sin  n  =  k  ,  donc    k  =  2Lk.    [2]  

       Soit  L  =  0  alors  k  =  0  ,  d’après  [1]  ou  [2]    

       Soit  L  ≠  0  ,  alors  k  ≠  0  d’après  [1]  ,  donc  en  simplifiant  [2]  ,  on  trouve  L  =  ½  .     3.  De  cos(2n)  =  2cos²  n  –  1  ,  on  trouve  L  =  2L²  –  1  ,  donc  2L²  –  L  –  1  =  0  

         Mais  ni  0  ,  ni  ½  ne  sont  solutions  de  cette  équation  

         On  en  déduit  donc  que  la  suite  (cos  n)  est  divergente  et  (sin  n)  également  ,            car  cosn=sin n+π

2

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟  

exercice  2  

1.  a9  ≈3,936235504  

2.  a.  On  considère  la  propriété  P(n)  :  «  an  >  0  et  bn  >  0  »                    a0  =  a  >  0  et  b0  =  b  >  0  ,  donc  P(0)  est  vraie    

                 Supposons  que  P(n)  soit  vraie  pour  un  certain  entier  n                                            an  >  0  et  bn  >  0  entraîne    a_n +b_n

2 >0et   a_nb_n >  0                                            donc  an+1  >  0  et  bn+1  >  0  et  P(n+1)  est  vraie  

                 On  a  montré  par  récurrence  que  pour  tout  entier  naturel  n,  P(n)  est  vraie            b.  a_n²₊₁−b_n²₊₁= a_n +b_n

2

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟

2

−a_nb_n = a_n² +2a_nb_n+b_n²

4 −4a_nb_n

4 =

(

a_n −b_n

)

²

4                        On  en  déduit  par  récurrence  que  pour  tout  naturel  n  ,  an  ≥  bn            c.  a_n+1−a_n = b_n−a_n

2  ≤  0  d’après  2.b  ,  donc  (an)  est  décroissante                    pour  tout  n  ,  bn  >  0  ,    ^bn+1

b_n = a_n

b_n  ≥  1  d’après  2.b  ,  donc  (bn)  est  croissante   3.  a.  On  considère  la  propriété  P(n)  :  «  a_n −b_n ≤ a−b

2ⁿ  »                  P(0)  est  vraie  car  a0  =  a  et  b0  =  b  et  2⁰  =  1  

               Supposons  P(n)  vraie  pour  un  certain  entier  n,  alors  a_n −b_n ≤ a−b 2ⁿ                                  a_n+1−b_n+1= a_n +b_n

2 − a_nb_n ≤a_n +b_n

2 − b_nb_n = a_n −b_n

2 ≤a−b 2ⁿ⁺¹                                et  la  propriété  est  vraie  au  rang  n  +  1

             b.    Pour  tout  naturel  n  ,  0≤a_n −b_n ≤ a−b  

2ⁿ ,  donc  d’après  le  théorème  des  gendarmes                          lim  (an  –  bn)  =  0,  donc  (an)  étant  décroissante  et  (bn)  croissante  ,  les  suites  sont                            adjacentes  et  convergent  vers  la  même  limite.