a. Montrer que 2a 1 a 2 b 1 b 2 ≤ a 2 1 b 2 2 + a 2 2 b 2 1 .

MPSI A - B Année 2018-2019. DS 3 (commun) le 16/11/18 17 novembre 2018

Exercice 1

Soit n naturel non nul et a 1 , · · · , a n , b 1 , · · · , b n des réels strictement positifs.

1. Inégalité de Cauchy-Schwarz.

a. Montrer que 2a ₁ a ₂ b ₁ b ₂ ≤ a ² ₁ b ² ₂ + a ² ₂ b ² ₁ .

b. En déduire par récurrence l'inégalité de Cauchy-Schwarz :





n

X

j=1

a j b j





2

≤





n

X

j=1

a ² _j









n

X

j=1

b ² _j



 .

c. En appliquant l'inégalité de Cauchy-Schwarz à des familles bien choisies, montrer

∀x ≥ 0,





n

X

j=1

a j b j





2

≤





n

X

j=1

a ^1+x _j b ^1−x _j









n

X

j=1

a ^1−x _j b ^1+x _j



 .

2. Dans cette question, on démontre une généralisation qui fournit une preuve nouvelle et indépendante de l'inégalité de Cauchy-Schwarz.

On considère la fonction

f :



 



 

 R → R

x 7→





n

X

j=1

a ^1+x _j b ^1−x _j









n

X

j=1

a ^1−x _j b ^1+x _j





a. Soit λ réel non nul. Former le tableau de variations de la fonction x → ch(λx) dénie dans R.

b. En développant f (x) , montrer que c'est la somme d'un nombre réel et d'une combinaison d'expressions contenant des cosinus hyperboliques.

c. Montrer que f est croissante dans R ⁺ . En déduire une nouvelle preuve de l'in- égalité de Cauchy-Schwarz.

Par rapport à 1.b., quelles nouvelles inégalités a-t-on obtenu ?

d. En utilisant le développement de 2.b. prouver le cas d'égalité dans l'inégalité de Cauchy-Schwarz.

Exercice 2

Soit k ∈]0, 1[ . Pour tout x ∈ R, on note F (x) = Z x

0

dt q

1 − k ² sin ² (t) .

1. Montrer que la fonction F est bien dénie, impaire et dérivable sur R et exprimer sa dérivée.

2. Posons K = F (π/2) et T = F(π) . Montrer que T = 2K . 3. Montrer que pour tout x ∈ R, F (x + π) = F (x) + T .

4. Montrer que F (x) ≥ x pour tout x ≥ 0 . En déduire que F réalise une bijection strictement croissante de R vers R.

Notons A : R → R la bijection réciproque de F . Pour tout x ∈ R, on notera également : sn(x) = sin(A(x)), cn(x) = cos(A(x)), dn(x) = p

1 − k ² sn(x) ² . 5. Montrer que la fonction sn est 2T -périodique.

6. Montrer que les fonctions sn et cn sont dérivables et que pour tout x ∈ R : sn

⁰

(x) = cn(x) dn(x) et cn

⁰

(x) = − sn(x) dn(x)

7. Soient ω ∈ R + et θ 0 ∈]0, π/2[ . Posons k = sin(θ 0 /2) et pour tout x ∈ R : θ(x) = 2 arcsin(k sn(ωx + K)).

a. Montrer que θ vérie :

∀x ∈ R , θ

⁰⁰

(x) + ω ² sin(θ(x)) = 0, θ(0) = θ ₀ , θ

⁰

(0) = 0.

b. Montrer que θ est périodique et déterminer une période.

Problème

Ce texte fait intervenir des fonctions C

^∞

( R ) , périodiques de période 2π et à valeurs dans C. De telles fonctions sont appelées des lacets. Un lacet γ peut être vu comme un mouvement. Pour t ∈ R, le complexe γ(t) représente la position dans le plan d'un point mobile. La trajectoire (notée Γ ) est l'ensemble des points par où est passé le mobile. À cause de la périodicité,

Γ = {γ(t), t ∈ R } = {γ(t), t ∈ [0, 2π]} .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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Rémy Nicolai Benoît SaleurS1803E

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(a) γ(t) = e

^it

. (b) γ(t) = e

^2it

−e

^it

−1 .

Fig. 1: Exemples de trajectoires.

Les gures ?? et ?? présentent les trajectoires Γ pour deux lacets.

Pour un lacet γ et un complexe z / ∈ Γ , l'indice de z par rapport à γ est

I γ (z) = 1 2iπ

Z 2π 0

γ

⁰

(t) γ(t) − z dt.

Il s'agit de l'intégrale d'une fonction d'une variable réelle C

^∞

à valeurs complexes où γ

⁰

(t) est la notation habituelle pour la dérivée de γ . Pour un nombre complexe z tel que |z| 6= 1 , on note I ₀ (z) son indice par rapport au mouvement circulaire.

I 0 (z) = 1 2π

Z 2π 0

e ^it

e ^it − z dt avec γ(t) = e ^it .

Partie préliminaire.

1. Soit f continue dans R, périodique de période T > 0 et à valeurs complexes.

Montrer que la fonction de R dans C, x 7→ R x+T

x f (t) dt est constante.

2. Montrer que :

∀x ∈ R

^∗

, arctan x + arctan 1 x =





 π

2 si x > 0

− π

2 si x < 0 .

3. Pour θ entre 0 et ^π ₂ , exprimer cos θ en fonction de tan ^θ ₂ .

Partie I. Calcul direct de I 0 (z) .

Dans cette partie, z ∈ C, |z| 6= 1 et ϕ ∈ R est un argument de z . On note A(z) = Re(I ₀ (z)), B(z) = Im(I ₀ (z)).

1. Soit r ∈ R \ {−1, +1} . En eectuant le changement de variable t = tan ^θ ₂ , montrer Z

^π₂

0

dθ

1 + r ² − 2r cos θ = 2

1 − r ² arctan 1 + r

1 − r

. 2. a. Montrer que

A(z) = 1 2π

Z 2π 0

1 − |z| cos(t − ϕ)

1 + |z| ² − 2|z| cos(t − ϕ) dt, B(z) = 0.

b. Montrer que

I ₀ (z) = 1

2 + 1 − |z| ² 4π

Z 2π 0

dt

1 + |z| ² − 2|z| cos(t − ϕ) . 3. Montrer que

Z 2π 0

dt

1 + |z| ² − 2|z| cos(t − ϕ) = 2

Z

^π₂

0

dθ

1 + |z| ² − 2|z| cos θ + Z

^π₂

0

dθ

1 + |z| ² + 2|z| cos θ

! .

En déduire I 0 (z) =

( 1 si |z| < 1 0 si |z| > 1 .

Partie II. L'indice est un entier.

On revient au cas général : γ est un lacet et z ∈ C \ Γ n'est pas sur la trajectoire. On considère l'équation diérentielle

(γ − z)y

⁰

− γ

⁰

y = 0 où la fonction inconnue y est à valeurs complexes.

1. Déterminer la solution évidente qui prend en t = 0 la valeur γ(0) − z .

2. En utilisant un résultat de cours cité précisément, exprimer cette solution avec la fonction exponentielle complexe et une intégrale.

3. Montrer que I _γ (z) ∈ Z.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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