L1-M2
Première année, 2006/2007 Examen du 11 mai 2007
Examen de Mathématiques (M2) Durée: 3heures
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Exercice 1 : On considère A l’ensemble des réels qui s’écrivent sous la forme a+b√
2, avec a et b entiers. En d’autres termes, A={a+b√
2|a, b∈Z}.
1. Est-ce que√ 8 +√
4appartient à A? Montrer que (A,+)est un sous-groupe de (R,+).
2. Montrer que Aest stable par multiplication (c-à-d, siu etv sont dansA alors le produit uv est encore dans A).
3. On cherche à caractériser les éléments de A qui possèdent un inverse dans A (pour la multipli- cation).
(a) Est-ce que√
2 possède un inverse dansA? (b) Soit(a, b)∈Z2\ {(0,0)}. Montrer que
1 a+b√
2 ∈A ⇐⇒ a
a2−2b2 ∈Z et b
a2−2b2 ∈Z
(on pourrait multiplier par la quantité conjuguée).
(c) En déduire les valeurs dea pour lesquellesa+ 5√
2possède un inverse dans A.
Indication : on rappelle que poura, b∈Zon aa+b√
2 = 0si et seulement si a= 0 etb= 0.
Exercice 2 : Soit θ∈Rfixé. Pour tout n∈N soitPn= (cosθ+Xsinθ)n. SoitQ=X2+ 1.
1. Trouver, pour les cas n = 0,1,2, le quotient et le reste de la division de Pn par Q (écrire le théorème de division euclidienne pour chaque cas).
2. Soitn∈N\ {0,1,2}.
(a) Quel est le degré maximal du reste Rn de la division de Pn parQ? (b) Trouver l’expression exacte du polynôme resteRn.
(c) Cette expression couvre-t-elle aussi les casn= 0,1,2?
Exercice 3 : Soit ϕl’application linéaire de R3 dans lui-même définie par ϕ
x y z
=
2x−y+z 2x−y+z
z
,
où les vecteurs sont écrits dans la base canonique deR3.
1. Donner la matriceA de ϕrelativement à la base canonique deR3.
2. Déterminer le noyau deϕen donnant une base deKerϕmais aussi les équations cartésiennes qui définissent le sous-espace Kerϕ.
3. En déduire la dimension de l’image de ϕ.
4. Déterminer une base de l’image deϕ.
— tourner la page —
5. Soient
v1 =
1 1 0
; v2 =
1 2 0
; v3 =
0 0 1
.
(a) Montrer que ces vecteurs forment une base deR3.
(b) Calculerϕ(v1),ϕ(v2)etϕ(v3)et les exprimer en fonction dev1, v2, v3. (c) En déduire la matriceA0 de ϕdans la base(v1, v2, v3).
Exercice 4 : SoitE un espace vectoriel surRde dimensionn≥2, et soitf un endomorphisme deE (application linéaire deE dansE). Pour toutk∈N, on notefk le composé kfois def par lui-même.
On convient quef0 est l’application identique (i.e. f0(x) =x,∀x∈E).
1. Montrer qu’on a Ker(fk)⊆Ker(fk+1) pour tout k∈N.
2. Que vaut Ker(f0)? En déduire que siKer(f0) = Kerf alorsfk est bijective pour tout k∈N.
3. Montrer que si pour un entierkdonné on aKer(fk) = Ker(fk+1), alors cela entraîneKer(fk+1) = Ker(fk+2).
4. On suppose maintenant quef vérifie :fn−16= 0 etfn= 0.
(a) Que vautKer(fn)?
(b) Déduire des questions précédentes que l’on a
{0} ⊂Kerf ⊂Ker(f2)⊂ · · · ⊂Ker(fn−1)⊂E , et que ces inclusions sont strictes.
Nota bene : Réponses concises + trêve au bla-bla = temps épargné + correcteur bienveillant
