Montrer que 1 a+b√ 2 ∈A

L1-M2

Première année, 2006/2007 Examen du 11 mai 2007

Examen de Mathématiques (M2) Durée: 3heures

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Exercice 1 : On considère A l’ensemble des réels qui s’écrivent sous la forme a+b√

2, avec a et b entiers. En d’autres termes, A={a+b√

2|a, b∈Z}.

1. Est-ce que√ 8 +√

4appartient à A? Montrer que (A,+)est un sous-groupe de (R,+).

2. Montrer que Aest stable par multiplication (c-à-d, siu etv sont dansA alors le produit uv est encore dans A).

3. On cherche à caractériser les éléments de A qui possèdent un inverse dans A (pour la multipli- cation).

(a) Est-ce que√

2 possède un inverse dansA? (b) Soit(a, b)∈Z²\ {(0,0)}. Montrer que

1 a+b√

2 ∈A ⇐⇒ a

a²−2b² ∈Z et b

a²−2b² ∈Z

(on pourrait multiplier par la quantité conjuguée).

(c) En déduire les valeurs dea pour lesquellesa+ 5√

2possède un inverse dans A.

Indication : on rappelle que poura, b∈Zon aa+b√

2 = 0si et seulement si a= 0 etb= 0.

Exercice 2 : Soit θ∈Rfixé. Pour tout n∈N soitP_n= (cosθ+Xsinθ)ⁿ. SoitQ=X²+ 1.

1. Trouver, pour les cas n = 0,1,2, le quotient et le reste de la division de P_n par Q (écrire le théorème de division euclidienne pour chaque cas).

2. Soitn∈N\ {0,1,2}.

(a) Quel est le degré maximal du reste R_n de la division de P_n parQ? (b) Trouver l’expression exacte du polynôme resteR_n.

(c) Cette expression couvre-t-elle aussi les casn= 0,1,2?

Exercice 3 : Soit ϕl’application linéaire de R³ dans lui-même définie par ϕ



x y z



=



2x−y+z 2x−y+z

z



,

où les vecteurs sont écrits dans la base canonique deR³.

1. Donner la matriceA de ϕrelativement à la base canonique deR³.

2. Déterminer le noyau deϕen donnant une base deKerϕmais aussi les équations cartésiennes qui définissent le sous-espace Kerϕ.

3. En déduire la dimension de l’image de ϕ.

4. Déterminer une base de l’image deϕ.

— tourner la page —

5. Soient

v₁ =



1 1 0



; v₂ =



1 2 0



; v₃ =



0 0 1



 .

(a) Montrer que ces vecteurs forment une base deR³.

(b) Calculerϕ(v₁),ϕ(v₂)etϕ(v₃)et les exprimer en fonction dev₁, v₂, v₃. (c) En déduire la matriceA⁰ de ϕdans la base(v₁, v₂, v₃).

Exercice 4 : SoitE un espace vectoriel surRde dimensionn≥2, et soitf un endomorphisme deE (application linéaire deE dansE). Pour toutk∈N, on notef^k le composé kfois def par lui-même.

On convient quef⁰ est l’application identique (i.e. f⁰(x) =x,∀x∈E).

1. Montrer qu’on a Ker(f^k)⊆Ker(f^k+1) pour tout k∈N.

2. Que vaut Ker(f⁰)? En déduire que siKer(f⁰) = Kerf alorsf^k est bijective pour tout k∈N.

3. Montrer que si pour un entierkdonné on aKer(f^k) = Ker(f^k+1), alors cela entraîneKer(f^k+1) = Ker(f^k+2).

4. On suppose maintenant quef vérifie :fⁿ⁻¹6= 0 etfⁿ= 0.

(a) Que vautKer(fⁿ)?

(b) Déduire des questions précédentes que l’on a

{0} ⊂Kerf ⊂Ker(f²)⊂ · · · ⊂Ker(fⁿ⁻¹)⊂E , et que ces inclusions sont strictes.

Nota bene : Réponses concises + trêve au bla-bla = temps épargné + correcteur bienveillant