Montrer que φ−1({0}) est un sous-espace affine de E de dimension n−1 (on pr´ecisera le sous-espace directeur en fonction de φ)

MAPES – Alg`ebre et G´eom´etrie, feuille 4 (03/08)

Exercice 1.Soit E un espace affine,F un sous-espace affine deE, etH un hyperplan affine. Montrer que l’une des deux assertions suivantes est v´erifi´ee :

1. −→ F ⊂−→

H.

2. dimF ∩ H= dimF −1.

Exercice 2. SoitE un espace affine de dimensionn, d’espace vectoriel directeur −→ E. 1. Soitφ une application affine non constante de E dans R. Montrer que φest surjec-

tive. Montrer que φ⁻¹({0}) est un sous-espace affine de E de dimension n−1 (on pr´ecisera le sous-espace directeur en fonction de φ). R´eciproquement, montrer que tout hyperplan affine deE est de cette forme.

2. (a) Dans−→

E, montrer que, pour 1≤d≤n, tout sous-espace vectoriel de dimension n−dest intersection de dhyperplans.

(b) En d´eduire que tout sous-espace affine deE de dimensionn−dest de la forme

∩^d_i=1φ⁻¹_i ({0}) pour (φ_i)_i=1,...,d une famille d’applications affines E → R, c’est-

`

a-dire est intersection dedhyperplans affines.

(c) Montrer que, dans ce cas, l’application affine produit×_iφ_i :E →R^d est surjec- tive.

3. R´eciproquement, montrer que siφ1, . . . , φ_dsont des fonctions affines telles que l’ap- plication affine produit est surjective, alors l’intersection^Td_i=1φ⁻¹_i ({0}) est un sous- espace affine de dimensionn−d(on pourra proc´eder par r´ecurrence surd, et utiliser l’exercice 1).

Exercice 3. SoitE un espace affine de dimensionn, et (a0, . . . , an) un rep`ere affine.

1. Montrer que pout touti, il existe une unique application affineφi:E →Rtelle que φ_i(a_j) =δ_i,j.

2. Exprimer l’image d’un point parφ_i en fonction de ses coordonn´ees barycentriques.

3. Montrer que l’ensemble Af f(E,R) est un sous-espace vectoriel de l’ensemble des applications deE dansR. D´eduire de ce qui pr´ec`ede que sa dimension est au moins n+ 1.

4. Montrer que tout ´el´ement φ∈ Af f(E,R) s’´ecrit φ=^P_iφ(ai)φi. En d´eduire la di- mension deAf f(E,R).

Exercice 4.SoitEun espace affine de dimensionn,H₀, . . . ,H_nn+1 hyperplans affines tels que l’intersection^Tn_i=0−→

H_ides espaces vectoriels directeurs soit r´eduite au vecteur nul.

Notonsφi des fonctions affines telles queφ⁻¹_i (0) =H_i. 1. Montrer que l’application lin´eaire produit ×ⁿ_i=0−→

φ_i : −→

E → Rⁿ⁺¹ est injective. En d´eduire que la famille (−→

φ_i)_i=0,...,n engendre l’espace des formes lin´eaires sur −→ E (in- dication : les relations de colin´earit´e de cette famille s’identifient `a l’orthogonal de Im×ⁿ_i=0−→

φ_i dans Rⁿ⁺¹ muni du produit scalaire canonique).

2. D’apr`es la question pr´ec´edente, on peut supposer que la sous-famille (−→

φ_i)_i=1,...,n est une base. Montrer que l’intersection ^Tn_i=1H_i est r´eduite `a un point O (on pourra utiliser l’exercice 2).

3. Montrer que les assertions suivantes sont ´equivalentes : 1

(a) ^Tn_i=0H_i 6=∅.

(b) la famille de fonctions affines (φi)i=0,...,nest li´ee (dans l’espace vectorielAf f(E,R)).

(c) pour tout rep`ere affine (a0, . . . , an), la matrice :







φ₀(a₀) . . . φ_n(a₀)

... ...

φ₀(a_n) . . . φ_n(a_n)







n’est pas inversible.

Exercice 5. Soit E un espace affine de dimension n. Soit D₀, . . . ,D_n−1 des droites toutes parall`eles (−→u un vecteur directeur). Montrer que les propositions suivantes sont

´equivalentes (on parlera de droites parall`eles en configuration g´en´erique).

1. pour 1≤d≤n, toutd-uplet de ces droites engendre un sous-espace deE de dimen- siond.

2. le sous-espace affine engendr´e parD₀, . . .D_n−1 est E tout entier.

3. pour tout choix de 0≤k≤n−1, pour toute donn´ee de pointsAi ∈ D_i(0≤i≤n−1), en posantA_n=A_k+−→u, (A₀, . . . , A_n) est un rep`ere affine de E.

Exercice 6. Soit E un espace affine de dimension ≥2,E⁰ un autre espace affine et f une application deE dansE⁰ telle que : f envoie toute droite deE sur une droite deE⁰ et induit une bijection entre ces droites ; et f envoie deux droites parall`eles sur des droites parall`eles.

1. Montrer quef est injective puis que dimE⁰ ≥2.

2. Montrer que l’image parf d’un parall´elogramme est un parall´elogramme.

3. Soit P un plan affine dans E, et D₁, D₂ deux droites s´ecantes de P. Montrer que f(P) est inclus dans le plan engendr´e parf(D₁)∪f(D₂). Montrer quef d´efinit une bijection entre ces deux plans.

4. Montrer que tout sous-espace affine de E est envoy´e bijectivement par f sur un sous-espace deE⁰ de mˆeme dimension.

5. Soit O ∈ E. On d´efinit −→u application de −→

E dans −→

E⁰ par −→u(−→x) = −−−−−−−−−−→

f(O)f(O+−→x).

Montrer que−→u(−→x +−→y) =−→u(−→x) +−→u(−→y), pour tous−→x ,−→y ind´ependants, puis pour xetyli´es (on ´ecrira dans ce cas−→x +−→y =−→x +−→z +−→y − −→z pour un vecteur −→z non li´e aux deux autres).

6. Montrer que, pour tout (−→x , λ)∈−→

E ×R, il existeσ(−→x , λ)∈R tel que :

−

→u(λ−→x) =σ(−→x , λ)−→u(−→x).

Montrer queσ est ind´ependant de −→x. Montrer que c’est un automorphisme de corps deR, et en d´eduire que−→u est lin´eaire.

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