TD 6: Transformée de Legendre et sous-diérentiel Lorsque E est un espace de Hilbert ou(Rn,k·keucl) on identie E∗ à E.
Exercice 1. Calculer la conjuguée de Legendre-Fenchel (ainsi que son domaine) des fonctions suivantes surR :
f(x) = exp(x) g(x) =p
1 +x2 h(x) =−log(x).
Étant donnée une matrice symétrique dénie positive Qde taille n, calculer F∗ où F :x∈Rn7→ 1
2hx|Qxi.
Exercice 2. Soit f :E →Rune fonction propre,A:E →F un opérateur linéaire continue et g:y∈F 7→inf{f(x)|x∈E, Ax=y.}
On note A∗:F∗ →E∗ l'adjoint de l'opérateur A déni parA∗φ=φ◦A. Montrer que
∀φ∈F∗, g∗(φ) =f∗(A∗φ).
Exercice 3. SoitE un espace vectoriel normé,g:R→Rune fonction convexe paire, c'est-à-dire que g(−t) =g(t) et soitf :x∈E 7→g(kxk). Montrer que
∀φ∈E∗, f∗(φ) =g∗(kφk∗).
(Indication : dans la dénition de f∗, remplacer supx∈E· · · parsupt≥0supkxk=t· · ·)
Exercice 4. SoitEun espace vectoriel normé etf :E →Rune fonction convexe1-lipschitzienne.
1. Montrer que dom(f∗) est contenu dans la boule unité deE∗. 2. Montrer que pour toutx∈E on a
f(x) = sup
φ∈E∗,kφk∗≤1
hφ|xi −f∗(φ).
Exercice 5. SoitE un espace vectoriel normé et f :E →Rune fonction propre telle qu'en tout point x0 de son domaine, le sous-diérentiel∂f(x0) est non vide.
1. Montrer que f est égale au suprémum de ses minorantes anes continues.
2. En déduire que f est convexe et semi-continue inférieurement.
Exercice 6. 1. Trouver toutes les fonctions propres f :Rn→Rvériant l'égalité f =f∗. 2. Montrer qu'une fonction convexe f :Rn→Rest ane ssi Card(dom(f∗)) = 1.
Exercice 7. 1. Soit E un espace vectoriel normé, f, g:E→Rconvexes. Montrer que
∀x0∈E, ∂f(x0) +∂g(x0)⊆∂(f +g)(x0).
2. SoitE, F deux espaces vectoriel normés,f :E →R, etA:F →Eune application linéaire continue. SoitA∗:E∗ →F∗ dénie par A(φ) =φ◦A pour φ∈E∗. Montrer que
∀x0 ∈F, ∂(f◦A)(x0)⊇A∗◦∂f(Ax0),
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