ρ, i|=φ∧ψ ssiρ, i|=φetρ, i|=ψ — ρ, i|=φ∨ψ ssiρ, i|=φouρ, i|=ψ — ρ, i|=¬φssiρ, i6|=φ — ρ, i|=Xφssiρ, i+ 1|=φ — ρ, i|=Fφssi∃j≥i:ρ, j|=φ — ρ, i|=X−1φssii >0 etρ, i−1|=φ — ρ, i|=F−1φssi∃0≤j≤i:ρ, j|=φ Et on d´efinit aussiGpar¬F¬et G−1 par¬F−1¬

Mod´elisation et sp´ecification – Master 2 Informatique TD 1 : Logique temporelle LTL-

On veut exprimer des propri´et´es avec la logique temporelle LTL-.

Les formules se construisent selon la grammaire :

φ::=proposition|φ∨φ|φ∧φ| ¬φ|Xφ|Fφ|X⁻¹φ|F⁻¹φ

Elles s’interpr`etent sur une position i ∈ N le long d’une ex´ecution ρ d’un STE S = (Q, Act, q0,→ , AP, L). On rappelle la s´emantique vue en cours :

— ρ, i|=pssip∈L(ρ(i)) (c’est-`a-dire pest une proposition de l’´etatρ(i)).

— ρ, i|=φ∧ψ ssiρ, i|=φetρ, i|=ψ

— ρ, i|=φ∨ψ ssiρ, i|=φouρ, i|=ψ

— ρ, i|=¬φssiρ, i6|=φ

— ρ, i|=Xφssiρ, i+ 1|=φ

— ρ, i|=Fφssi∃j≥i:ρ, j|=φ

— ρ, i|=X⁻¹φssii >0 etρ, i−1|=φ

— ρ, i|=F⁻¹φssi∃0≤j≤i:ρ, j|=φ

Et on d´efinit aussiGpar¬F¬et G⁻¹ par¬F⁻¹¬.

Exercice 1 : Evaluer les formules

Pour chaque formule ci-dessus, (1) donner deux mod`eles diff´erents v´erifiant la formule et deux mod`eles ne v´erifiant pas la formule, et (2) ´ecrire en fran¸cais ce que la formule signifie.

Par exemple, pour G(pb ⇒ Falarme), on pourrait donner les mod`eles ci-dessous :

Et dire : ”tout ´etat v´erifiantpbest suivi plus tard par un ´etat v´erifiantalarme.”

1. F(a ∧ Xb)

2. F(a ∧ Xb) ∧ F(a ∧ X¬b) 3. G(a ⇒ X⁻¹b)

4. F(a ∧ X⁻¹G⁻¹b) 5. (GFa) ∨ (FG¬a) 6. (GFa) ∧ (GFb) 7. (GFa) ⇒ (GFb) 8. G(pb ⇔ Xalarme) 9. F(a ∧ X F(a∧XFa)) 10. G(alarme ⇔ Fpb)